Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

9.1
9.2, x
0
= x
∗
n
(9.2) j → ∞
x
∗
(9.1)
kx
∗
− x
j
n
k 6 τkBk(1 − q)
−1
q
j
ky − Ax
∗
n
k; j, n = 1, 2, . . . , (9.21)
ky − Ax
∗
n
k = kAx
∗
− Ax
∗
n
k → 0,
n → ∞.
B = B
n
: Y −→ X
n
,
A
n
: X −→ Y B = B
n
: Y
n
−→ X
n
, A
n
: X −→ Y
n
, X
n
Y
n
X Y
x
0
n
∈ X
n
x
j
n
∈ X
n
j ∈ N.
X
n
Y
n
B
A
X Y
e
Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y ), (9.22)
âîçìîæíî, ëèøü ãðóáûì ïðèáëèæåíèåì ê èñêîìîìó ýëåìåíòó. Îäíèì èç
ïðîñòåéøèõ ïðèìåðîâ ðåàëèçàöèè ýòîé èäåè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ

     Òåîðåìà 9.3. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû 9.1 èëè æå ëåììû
9.2, òî ïðè x0 = x∗n èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (9.2) ïðè j → ∞ ñõîäèòñÿ ê
åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ x∗ óðàâíåíèÿ (9.1) ñî ñêîðîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé
íåðàâåíñòâàìè

     kx∗ − xjn k 6 τ kBk(1 − q)−1 q j ky − Ax∗n k;   j, n = 1, 2, . . . ,   (9.21)

ãäå íåâÿçêà íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ ky − Ax∗n k = kAx∗ − Ax∗n k → 0,
n → ∞.
     Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç âûøåïðèâåäåííûõ ôàêòîâ.
     Îòìåòèì, ÷òî äðóãèå, áîëåå èíòåðåñíûå ïðèìåðû èòåðàöèîííîãî
óòî÷íåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ íèæå.

     Çàìå÷àíèå 9.1.  ïðèâåäåííûõ âûøå óòâåðæäåíèÿõ îòíîñèòåëü-
íî ïðîöåññà (9.4) ìîæíî ñ÷èòàòü òàêæå, ÷òî B = Bn : Y −→ Xn ,
An : X −→ Y èëè æå B = Bn : Yn −→ Xn , An : X −→ Yn , ãäå Xn
è Yn  ïðîèçâîëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ïðîñòðàíñòâ X è Y ñîîòâåòñòâåí-
íî. Òîãäà ïðè x0n ∈ Xn ïîëó÷àåì xjn ∈ Xn ïðè ëþáûõ j ∈ N. Ýòè ñëó÷àè
îñîáåííî óäîáíû, êîãäà Xn è Yn  êîíå÷íîìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà îäè-
íàêîâîé ðàçìåðíîñòè; òîãäà ìû èìååì äåëî, ïî ñóùåñòâó, ñ à. è. ì. íà
áàçå ïðÿìûõ ìåòîäîâ (ñì. òàêæå íèæå ïï. 9.3 è 9.4). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â
ñëó÷àÿõ ãëàäêèõ îïåðàòîðîâ ïðåäïîëîæåíèÿ âûøåïðèâåäåííûõ òåîðåì è
ëåìì ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ [53] ìîæíî íåñêîëüêî îñëàáèòü, à â äðóãèõ
ñëó÷àÿõ  íåñêîëüêî óñèëèòü.

      9.3. Ìåòîä óòî÷íÿþùèõ èòåðàöèé äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

     Îäíèì èç âàæíåéøèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ à. è. ì. ÿâëÿåòñÿ ìåòîä óòî÷-
íÿþùèõ èòåðàöèé, êîòîðûé ìîæíî ïîëó÷èòü èñõîäÿ èç èòåðàöèîííûõ
ïðîöåññîâ (9.2), (9.4), (9.5) ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå îïåðàòîðà B è íà-
÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ýòîò âîïðîñ áîëåå ïîäðîáíî äëÿ ëè-
íåéíûõ óðàâíåíèé.
     Íàðÿäó ñ èñõîäíûì óðàâíåíèåì (9.1), ãäå A  ëèíåéíûé íåïðåðûâ-
íûé îïåðàòîð èç X â Y , ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà

                          e = y (x ∈ X, y ∈ Y ),
                          Ax                                                (9.22)

Страницы