Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

j = j ,
9.1
9.1
j
0
= j = [[(ln q
0
)
−1
ln{(ε
n
kx
∗
n
k + ky − y
n
k)/ky
n
− A
n
x
0
n
k}]], (9.16)
(9.4) x
0
n
∈ X
(9.1)
lim
n→∞
x
j
0
n
= x
∗
; lim
n→∞
x
j
n
6= x
∗
, j 6= j
0
, (9.17)
kx
∗
− x
j
0
n
k 6 4τkBkq
−1
0
(1 − q
0
)
−1
(ε
n
kx
∗
n
k + ky − y
n
k), (9.18)
kx
∗
− x
j
0
n
k 6 4τkBk(1 − q
0
)
−1
q
j
0
−1
0
ky
n
− A
n
x
0
n
k, (9.19)
(9.18), (9.19) kx
∗
− x
j
0
n
k 6 kx
∗
− x
j
n
k;
j, n = 1, 2, . . . .
ε
n
kx
∗
n
k + ky − y
n
k = q
j
0
ky
n
− A
n
x
0
n
k. (9.20)
j
0
j
(9.16),
     Äàëåå, ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñõåìó (9.4) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òàê-
æå êàê èòåðàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.1) ñ íåòî÷íûìè âõîä-
íûìè äàííûìè.  ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàåò çàäà÷à îòûñêàíèÿ îïòèìàëüíîãî
íîìåðà èòåðàöèè j = jÎÏÒ , ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò ñîãëàñîâàíèå âñåõ
ïîãðåøíîñòåé. Ýòîò âàæíûé âîïðîñ â ñëó÷àå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé áûë
èññëåäîâàí Ã.È. Ìàð÷óêîì è Â.Ã. Âàñèëüåâûì [60]. Ñëåäóÿ èì, â íåëèíåé-
íîì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 9.1 ïîëó÷àåòñÿ

     Òåîðåìà 9.2. Åñëè â óñëîâèÿõ ëåììû 9.1 ïîëîæèòü

    j0 = jÎÏÒ = [[(ln q0 )−1 ln{(εn kx∗n k + ky − yn k)/kyn − An x0n k}]],   (9.16)

òî èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (9.4) ïðè ëþáîì x0n ∈ X ñõîäèòñÿ ê
åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (9.1) â òîì ñìûñëå, ÷òî
                            j
                     lim xn0 = x∗ ;    lim xjn 6= x∗ ,   j 6= j0 ,           (9.17)
                     n→∞               n→∞

ïðè÷åì
                 j
         kx∗ − xn0 k 6 4τ kBkq0−1 (1 − q0 )−1 (εn kx∗n k + ky − yn k),       (9.18)
                        j                         j −1
               kx∗ − xn0 k 6 4τ kBk(1 − q0 )−1 q00 kyn − An x0n k,           (9.19)
                                                                     j
è îöåíêè (9.18), (9.19) íåóëó÷øàåìû â ñìûñëå kx∗ − xn0 k 6 kx∗ − xjn k;
j, n = 1, 2, . . . .
      Äåéñòâèòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (9.14) áóäåò ìèíèìàëüíîé
ïðè
                     εn kx∗n k + ky − yn k = q0j kyn − An x0n k. (9.20)
Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç j0 öåëóþ íåîòðèöàòåëüíóþ ÷àñòü (îòíîñèòåëüíî j ) ðå-
øåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.20), ïðèõîäèì ê (9.16), îòêóäà è èç (9.14) íàõîäèì
îöåíêè (9.18) è (9.19). Î÷åâèäíî, ëþáàÿ èç îöåíîê (9.18) è (9.19) ñ ó÷åòîì
(9.14) ïðèâîäèò ê (9.17). ßñíî, ÷òî åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ îöåíêîé (9.15),
òî íà îñíîâå ëåììû 9.2 ïðèäåì ê ñîîòíîøåíèÿì, ìàëî îòëè÷àþùèìñÿ îò
(9.16), (9.18)(9.20).
      Òåïåðü ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, íåñêîëüêî îáðàòíóþ èçó÷åííîé â òå-
îðåìå 9.2.
      Èçâåñòíî, ÷òî ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ êëàññîâ óðàâíåíèé ýôôåê-
òèâíîé îêàçàëàñü èäåÿ èòåðàòèâíîãî óòî÷íåíèÿ ðåøåíèÿ, îïðåäåëåííîãî
ïåðâîíà÷àëüíî èç áîëåå ïðîñòîãî óðàâíåíèÿ è ÿâëÿþùåãîñÿ â ñèëó ýòîãî,

Страницы