Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
n
x = y
n
(x ∈ X, y
n
∈ Y ), (9.3)
A
n
X Y, y
n
A
n
y A
x
j+1
= x
j
+ τB(y
n
− A
n
x
j
), j = 0, 1, . . . ; n = 1, 2, . . . , (9.4)
x
j
= x
j
(n) = x
j
n
,
x
j+1
= x
j
+ τB
j
(y
j
− A
j
x
j
), j = 0, 1, . . . , (9.5)
B
j
Y X.
A0 = 0, A
n
0 = 0, n = 1, 2, . . . .
[19].
ky − y
n
k → 0, kA
n
x − Axk 6 ε
n
kxk, 0 6 ε
n
→ 0, n → ∞,
x ∈ X;
Y X;
T = E − τ BA
q, 0 < q < 1.
(9. 1) (9. 3)
y y
n
∈ Y
(9.2) (9.4)
j → ∞,
kx
∗
k 6 τkByk(1 − q)
−1
, kx
∗
n
k 6 τkBy
n
k(1 − q
0
)
−1
, (9.6)
kx
∗
n
− x
j
n
k 6 q
j
0
(1 − q
0
)
−1
τkBkky
n
− A
n
x
0
n
k, (9.7)
kx
∗
− x
∗
n
k 6 τkBk(1 − q)
−1
(ε
n
kx
∗
n
k + ky − y
n
k), (9.8)
      ñèëó ðÿäà ïðè÷èí âìåñòî óðàâíåíèÿ (9.1) î÷åíü ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ
ðåøàòü óðàâíåíèå âèäà

                       An x = yn (x ∈ X, yn ∈ Y ),                               (9.3)

ãäå An  íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç X â Y, à yn è An â îïðåäåëåí-
íîì ñìûñëå àïïðîêñèìèðóþò y è A ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ (9.2) çàìåíÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì ïðîöåññîì âèäà

         xj+1 = xj + τ B(yn − An xj ),     j = 0, 1, . . . ; n = 1, 2, . . . ,   (9.4)

ãäå xj = xj (n) = xjn , èëè æå óíèâåðñàëüíûì ïðîöåññîì íåñòàöèîíàðíîãî
òèïà
               xj+1 = xj + τ Bj (yj − Aj xj ),      j = 0, 1, . . . ,            (9.5)
ãäå Bj  íåêîòîðûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû èç Y â X.
      ßñíî, ÷òî óíèâåðñàëüíûå èòåðàöèîííûå ïðîöåññû (9.4) è (9.5)
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåêîòîðûå êîíêðåòíûå àëãîðèòìû (äðóãèå ñì.íèæå)
à. è. ì. ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.1). ßñíî òàêæå, ÷òî â (9.1)(9.5) áåç îãðà-
íè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî A0 = 0, An 0 = 0, n = 1, 2, . . . .
      Ñíà÷àëà äëÿ óðàâíåíèé (9.1) è (9.3) ïðèâåäåì äâå ïðîñòûå ëåììû,
äîêàçàòåëüñòâà êîòîðûõ èìåþòñÿ â ðàáîòå [19].

     Ëåììà 9.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     à) ky − yn k → 0, kAn x − Axk 6 εn kxk, ãäå 0 6 εn → 0, n → ∞, è
íå çàâèñèò îò x ∈ X;
     á) ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð Â îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî-
îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Y íà X;
     â) îïåðàòîð ïåðåõîäà T = E − τ BA óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèï-
øèöà ñ ïîñòîÿííîé q, 0 < q < 1.
     Òîãäà óðàâíåíèÿ (9. 1) è (9. 3) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû ïðè ëþáûõ
ïðàâûõ ÷àñòÿõ ñîîòâåòñòâåííî y è yn ∈ Y è èõ ðåøåíèÿ ìîæíî íàéòè
êàê ïðåäåëû èòåðàöèîííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (9.2) è (9.4) ïðè
j → ∞, ïðè÷åì

           kx∗ k 6 τ kByk(1 − q)−1 , kx∗n k 6 τ kByn k(1 − q0 )−1 ,              (9.6)

               kx∗n − xjn k 6 q0j (1 − q0 )−1 τ kBkkyn − An x0n k,               (9.7)
             kx∗ − x∗n k 6 τ kBk(1 − q)−1 (εn kx∗n k + ky − yn k),               (9.8)

Страницы