Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

kx
∗
− x
∗
n
k 6 τkBk(1 − q
0
)
−1
(ε
n
kx
∗
k + ky − y
n
k), (9.9)
n, j = 1, 2, . . . , q
0
(q 6 q
0
< 1)
9.1
0
ky − y
n
k → 0, kA
n
x
∗
− Ax
∗
k → 0, n → ∞, x
∗
(9.1);
n
T
n
q
n
6 q
0
< 1, n = 1, 2, . . . .
j → ∞ (9.2) (9.4)
x
∗
x
∗
n
(9.1) (9.3)
x
∗
n
→ x
∗
, n → ∞,
kx
∗
− x
∗
n
k 6 τkBk(1 − q
0
)
−1
(kAx
∗
− A
n
x
∗
k + ky − y
n
k), (9.10)
kx
∗
− x
∗
n
k 6 τkBk(1 − q)
−1
(kAx
∗
n
− A
n
x
∗
n
k + ky − y
n
k). (9.11)
9.1 (9.4)
(9.5) B
j
→ B
x
0
n
x
0
∈ X x
∗
(9.1)
lim
n→∞
lim
j→∞
x
j
n
= x
∗
, (9.12)
lim
j→∞
x
j
= x
∗
, (9.13)
kx
∗
− x
j
n
k 6
τkBk
1 − q
0
{ε
n
kx
∗
n
k + ky − y
n
k + q
j
0
ky
n
− A
n
x
0
n
k}, j = 1, 2, . . . ;
(9.14)
kx
∗
−x
j
n
k 6
τkBk
1 − q
0
{kAx
∗
−A
n
x
∗
k+ky−y
n
k+q
j
0
ky
n
−A
n
x
0
n
k}, j = 1, 2, . . . .
(9.15)
(9.7) (9.8)
9.1
B
j
≡ B
             kx∗ − x∗n k 6 τ kBk(1 − q0 )−1 (εn kx∗ k + ky − yn k),                 (9.9)
ãäå n, j = 1, 2, . . . , à q0 (q 6 q0 < 1)  âïîëíå îïðåäåëåííàÿ ïîñòîÿííàÿ.

      Ëåììà 9.2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ á) è â) ëåììû 9.1 è
     à 0 ) ky − yn k → 0, kAn x∗ − Ax∗ k → 0, n → ∞, ãäå x∗  ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (9.1);
     â n ) îïåðàòîðû ïåðåõîäà Tn óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà ñ
ïîñòîÿííûìè qn 6 q0 < 1, n = 1, 2, . . . .
     Òîãäà ïðè j → ∞ èòåðàöèîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (9.2) è (9.4)
ñõîäÿòñÿ ê åäèíñòâåííûì ðåøåíèÿì x∗ è x∗n óðàâíåíèé (9.1) è (9.3)
ñîîòâåòñòâåííî; êðîìå òîãî, x∗n → x∗ , n → ∞, ñî ñêîðîñòüþ, îïðåäå-
ëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè

      kx∗ − x∗n k 6 τ kBk(1 − q0 )−1 (kAx∗ − An x∗ k + ky − yn k),                (9.10)

       kx∗ − x∗n k 6 τ kBk(1 − q)−1 (kAx∗n − An x∗n k + ky − yn k).               (9.11)
      Äàëåå, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ

      Òåîðåìà 9.1. Â óñëîâèÿõ ëåììû 9.1 èòåðàöèîííûå ïðîöåññû (9.4)
è (9.5) ïðè Bj → B (ðàâíîìåðíî) äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé
x0n è x0 ∈ X ñõîäÿòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ x∗ óðàâíåíèÿ (9.1) â
òîì ñìûñëå, ÷òî
                           lim lim xjn = x∗ ,               (9.12)
                                 n→∞ j→∞

                                     lim xj = x∗ ,                                (9.13)
                                    j→∞
ïðè÷åì
                 τ kBk
 kx∗ − xjn k 6          {εn kx∗n k + ky − yn k + q0j kyn − An x0n k},   j = 1, 2, . . . ;
                 1 − q0
                                                                                  (9.14)
             τ kBk
kx∗ −xjn k 6        {kAx∗ −An x∗ k+ky−yn k+q j0 kyn −An x0n k},          j = 1, 2, . . . .
             1 − q0
                                                                   (9.15)
     Äåéñòâèòåëüíî, èç ñîîòíîøåíèé (9.7) è (9.8) ïîëó÷àåì êîíñòðóê-
òèâíóþ îöåíêó (9.14), èç êîòîðîé, à òàêæå èç ëåììû 9.1 â ñâîþ î÷åðåäü
ñëåäóåò (9.12). Îöåíêà (9.15) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî (9.14). Ïðè Bj ≡ B
ñïðàâåäëèâîñòü (9.13) ñëåäóåò èç (9.14) èëè (9.15). Îñòàëüíîå ïî÷òè î÷å-
âèäíî.

Страницы