Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 54 стр.

(õîòÿ áû íåêîòîðûõ) è â òî æå âðåìÿ îáëàäàþùèõ ïîëîæèòåëüíûìè ñòî-
ðîíàìè ïåðâîíà÷àëüíûõ ìåòîäîâ. Òàêèå ìåòîäû óñëîâíî áóäåì íàçûâàòü
àïïðîêñèìàòèâíî-èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè (à. è. ì.).
      Ðåàëüíûé ïóòü ê ñîçäàíèþ à. è. ì. îòêðûâàþò óíèâåðñàëüíûå (êàê
ñòàöèîíàðíûå, òàê è, â ïåðâóþ î÷åðåäü, íåñòàöèîíàðíûå) èòåðàöèîííûå
ïðîöåññû, êîòîðûì ïîñâÿùåíû ìíîãî÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ (êðàòêèé
îáçîð ðåçóëüòàòîâ ïðèâåäåí â ðàáîòå [19] è § 7 ãë. II êíèãè [10]).
      Íèæå, èñõîäÿ èç ðÿäà ðåçóëüòàòîâ § 4 ïî ïðÿìûì ìåòîäàì ðåøå-
íèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé, íà îñíîâå õîðîøî èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ ïî
èòåðàöèîííûì ìåòîäàì èññëåäóåòñÿ ðÿä âû÷èñëèòåëüíûõ ñõåì à. è. ì.
Çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîìó ìåòîäó óòî÷íÿþ-
ùèõ èòåðàöèé, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàðèàíòîâ à. è. ì. Ïîëó-
÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçæå íàøëè ïðèìåíåíèÿ ê ðàçëè÷íûì ñèíãóëÿðíûì
èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì ñ ÿäðàìè òèïà Ãèëüáåðòà è Êîøè, äëÿ êîòî-
ðûõ èññëåäîâàíû à. è. ìåòîäû, â òîì ÷èñëå êâàäðàòóðíî-èòåðàöèîííûå è
âûðîæäåííî-èòåðàöèîííûå ìåòîäû.


            9.2. Îá óíèâåðñàëüíûõ èòåðàöèîííûõ ìåòîäàõ
                   ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé

     Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà

                      Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y ),                   (9.1)

ãäå A  íåëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà
X â áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y. Ðåøåíèå åãî áóäåì îïðåäåëÿòü êàê ïðåäåë
èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà

               xj+1 = xj + τ B(y − Axj ),   j = 0, 1, . . . ,   (9.2)

ãäå x0  ïðîèçâîëüíîå íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå èç X, B  íåêîòîðûé
íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç Y è X, à τ (0 < τ < ∞)  èòåðàöèîííûé
ïàðàìåòð. Íà ïðàêòèêå îáû÷íî B è τ âûáèðàþòñÿ èñõîäÿ èç òðåáîâàíèÿ
îáåñïå÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîé àñèìïòîòè÷åñêîé ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðà-
öèîííîãî ïðîöåññà (9.2), ïðè÷åì îïåðàòîð B âûáèðàåòñÿ, êàê ïðàâèëî,
çàâèñÿùèì îò A è τ, òàê ÷òî B = ϕ(τ, A), ãäå ϕ  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ
ñâîèõ àðãóìåíòîâ.