Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λa
m
+
n
X
k=1
a
k
∞
X
j=1
α
j k
α
j m
=
∞
X
j=1
b
j
α
jm
, m = 1, n, (8.17)
n
P
k=1
|a
k
|
2
= R
2
λ = µ > 0
A
n (8.16)
x
0
n
∈ M
n
x
0
n
→ x
0
n → ∞
(8.15).
M
n
kAx − yk
2
x ∈ M
n
, y ∈ Y.
λa
m
+
n
X
k=1
a
k
(Ae
k
, Ae
m
) = (y
n
, Ae
m
), m = 1, n. (8.18)
m e
m
m
λx
n
+
n
X
m=1
(Ax
n
, Ae
m
) e
m
=
n
X
m=1
(y, Ae
m
) e
m
, (8.19)
λx
n
+
n
X
m=1
(A
∗
Ax
n
, e
m
) e
m
=
n
X
m=1
(A
∗
y, e
m
) e
m
,
M
n
x
0
n
=
n
P
k=1
a
0
k
e
k
x
0
n
→ x
0
8.1 8.3
     Ýòî óðàâíåíèå â ðàçâåðíóòîé ôîðìå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
ñëåäóþùåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
                           n
                           X          ∞
                                      X                   ∞
                                                          X
                   λam +         ak         αj k αj m =         bj αjm ,     m = 1, n,   (8.17)
                           k=1        j=1                 j=1

      P
      n
ãäå         |ak |2 = R2 ïðè λ = µ > 0 .
      k=1

          Òåîðåìà 8.4. Åñëè A  ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, òî ïðè
ëþáîì íàòóðàëüíîì n óðàâíåíèå (8.16) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
x0n ∈ Mn , ïðè÷åì x0n → x0 (ñëàáî) ïðè n → ∞ è ñïðàâåäëèâà îöåíêà
òèïà (8.15).
      Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (8.16) ýêâèâà-
ëåíòíî óðàâíåíèþ äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷íîãî êâàçèðåøåíèÿ çàäà÷è (8.1) íà
ìíîæåñòâå Mn . ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, íàéäåì ýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëà
kAx − yk2 ïðè óñëîâèè x ∈ Mn , y ∈ Y. Òîãäà ïðèõîäèì ê ñèñòåìå
                           n
                           X
                   λam +         ak (Aek , Aem ) = (yn , Aem ),             m = 1, n.    (8.18)
                           k=1

     Óìíîæàÿ m -å óðàâíåíèå ñèñòåìû (8.18) íà em è ñóììèðóÿ ïî m ,
íàõîäèì óðàâíåíèå âèäà
                              n
                              X                                 n
                                                                X
                      λxn +           (Axn , Aem ) em =             (y, Aem ) em ,       (8.19)
                              m=1                           m=1

à èç íåãî  óðàâíåíèå
                             n
                             X                                  n
                                                                X
                                       ∗
                     λxn +         (A Axn , em ) em =                 (A∗ y, em ) em ,
                             m=1                                m=1

ðàâíîñèëüíîå óðàâíåíèþ (8.16).
     Èçâåñòíî [41][44], ÷òî êâàçèðåøåíèå çàäà÷è (8.1) íà Mn óäîâëåòâî-
ðÿåò êëàññè÷åñêèì óñëîâèÿì êîððåêòíîñòè. Ïîýòîìó ïðèáëèæåííîå óðàâ-
íåíèå (8.16) (à òåì ñàìûì è ñèñòåìà (8.17)) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
          P
          n
x0n   =         a0k ek . Ïðè ýòîì ñõîäèìîñòü x0n → x0 (ñëàáî) ñëåäóåò èç [43], à
          k=1
îöåíêè òèïà (8.15)  èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ ïàðàãðàôà 4.
      Äàëåå, òåîðåìû 8.1  8.3 ìîãóò áûòü äîêàçàíû ñ ïîìîùüþ ðàáîò
[41][44]. Äðóãîé, áîëåå ïðîñòîé ñïîñîá äîêàçàòåëüñòâà, îñíîâàííûé íà

Страницы