Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n → ∞
A
λa
m
+
n
X
k=1
a
k
n
X
j=1
α
jk
α
jm
=
n
X
j=1
b
j
α
jm
(m = 1, n), (8.13
0
)
n
P
k=1
|a
k
|
2
= R
2
λ = µ > 0
A
n ∈ N
x
0
n
∈ M
n
x
0
n
→ x
0
n → ∞
kA − P
n
Ak → 0, n → ∞, A − P
n
A : X
n
→ Y
(8.12) A
n
= P
n
A.
1
x
0
n
∈ M
n
λx
n
+ B
n
x
n
= z
n
, (8.14)
B = A
∗
A, B
n
= (A
∗
A)
n
X
n
z = A
∗
y,
z
n
= (A
∗
y)
n
B
n
→ B z
n
→ z
n ∈ N (8.14)
x
0
n
∈ M
n
x
0
n
→ x
0
n → ∞,
kKx
0
− Kx
0
n
k = O(kB − B
n
k + kz − z
n
k). (8.15)
2
B
n
= Φ
n
B X
n
z
n
= Φ
n
z
x
0
n
∈ M
n
λx
n
+ Φ
n
A
∗
Ax
n
= Φ
n
A
∗
y. (8.16)
      Îòìåòèì, ÷òî ïðè n → ∞ óðàâíåíèå (8.13) ïåðåõîäèò â óðàâíå-
íèå (8.3) â ñëó÷àå ëþáîãî ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà A , òàê ÷òî
ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå (8.13) ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíîé àïïðîêñèìàöèåé
òî÷íîãî óðàâíåíèÿ (8.3) â îïðåäåëåííîì ñìûñëå.
      Ñ äðóãîé ñòîðîíû, óðàâíåíèå (8.13) â ðàçâåðíóòîé ôîðìå èìååò âèä
                      n
                      X          n
                                 X                 n
                                                   X
              λam +         ak         αjk αjm =         bj αjm (m = 1, n),   (8.130 )
                      k=1        j=1               j=1

      P
      n
ãäå         |ak |2 = R2 ïðè λ = µ > 0 . Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî áåñêîíå÷íàÿ
      k=1
ñèñòåìà (8.4) ðåøàåòñÿ îäíèì èç âàðèàíòîâ ìåòîäà ðåäóêöèè.

       Òåîðåìà 8.2. Åñëè A  ëèíåéíûé îïåðàòîð, òî õîòÿ áû ïðè
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ∈ N ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïðèáëèæåííîå
êâàçèðåøåíèå x0n ∈ Mn , ïðè÷åì x0n → x0 (ñëàáî) ïðè n → ∞ . Åñëè æå
kA − Pn Ak → 0, n → ∞, A − Pn A : Xn → Y , òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà
(8.12) ïðè An = Pn A.
      Ñ ï î ñ î á á1 (âòîðîé îáùèé ïðÿìîé ìåòîä). Ïóñòü ïðèáëèæåííîå
êâàçèðåøåíèå x0n ∈ Mn çàäà÷è (8.1) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ

                                         λxn + Bn xn = zn ,                   (8.14)

ãäå B = A∗ A, Bn = (A∗ A)n  ëèíåéíûé îïåðàòîð â Xn è z = A∗ y,
zn = (A∗ y)n .

       Òåîðåìà 8.3. Åñëè Bn → B (ðàâíîìåðíî), zn → z (ñèëüíî),
òî õîòÿ áû äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ∈ N óðàâíåíèå (8.14) èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x0n ∈ Mn , ïðè÷åì x0n → x0 (ñëàáî), n → ∞, è

                      kKx0 − Kx0n k = O(kB − Bn k + kz − zn k).               (8.15)

     Ñ ï î ñ î á á2 (âòîðîé ïðîåêöèîííûé ìåòîä). Ïóñòü óðàâíåíèå (8.3)
ðåøàåòñÿ ïðîåêöèîííûì ìåòîäîì, ò. å. Bn = Φn B íà Xn è zn = Φn z .
 ýòîì ñëó÷àå ïðèáëèæåííîå êâàçèðåøåíèå x0n ∈ Mn îïðåäåëÿåòñÿ èç
îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ

                                  λxn + Φn A∗ Axn = Φn A∗ y.                  (8.16)

Страницы