Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f
M =
f
M
R
e
X,
e
x
0
∈
f
M
λex + (
e
A)
∗
e
Aex = (
e
A)
∗
ey. (8.6)
f
M
λex +
g
A
∗
Aex =
g
A
∗
y. (8.7)
f
M =
f
M
R
(
e
A)
∗
e
A 6=
g
A
∗
A
1
e
X = X
n
e
Y = Y
n
n
(e
1
, e
2
, . . . , e
n
) (g
1
, g
2
, . . . , g
n
)
A
n
x
n
= y
n
(x
n
∈ X
n
, y
n
∈ Y
n
, n = 1, 2, . . .), (8.8)
y
n
x
n
A
n
X
n
Y
n
x
0
n
M
n
= M ∩ X
n
M
n
n X
n
kx
n
k
2
=
n
X
k=1
| a
k
|
2
6 R
2
. (8.9)
M
n
x
0
n
=
n
P
k=1
a
0
k
e
k
a
0
1
, . . . , a
0
n
n
X
k=1
a
k
(A
n
e
k
, A
n
e
m
) = (y
n
, A
n
e
m
), m = 1, n. (8.10
◦
)
                  f=M
      Ñ÷èòàÿ, ÷òî M   fR  øàð ïîäïðîñòðàíñòâà X,
                                               e äëÿ îïðåäåëåíèÿ
xe0 ∈ M
      f ïîëó÷àåì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå âèäà

                                 λe    e ∗ Ae
                                  x + (A)  ex = (A)
                                                 e ∗ ye.                              (8.6)
      Ñ ï î ñ î á á. Ïóñòü óðàâíåíèå (8.3), èç êîòîðîãî äîëæíî îïðå-
äåëÿòüñÿ òî÷íîå êâàçèðåøåíèå çàäà÷è (8.1), ðåøàåòñÿ êàêèì-ëèáî ïðè-
áëèæåííûì ìåòîäîì. Ïóñòü çäåñü ïðèìåíÿåòñÿ òîò æå àëãîðèòì àïïðîê-
ñèìàöèè îïåðàòîðà, ÷òî è âûøå. Òîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåííîãî
                                                 f îïåðàòîðíîå óðàâ-
êâàçèðåøåíèÿ çàäà÷è (8.1) ïîëó÷àåòñÿ çàäàííîå íà M
íåíèå
                                   λe g
                                    x+A ∗ Ae g
                                           x=A ∗ y.                                   (8.7)
     Çàìåòèì, ÷òî ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ (8.6) è (8.7) îïðåäåëåíû íà
                         f=M
îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå M    fR , íî îíè â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàþò,
     e ∗A
èáî (A)       g
         e 6= A ∗A .

     Äàëüøå áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåêîòîðûå êîíêðåòèçàöèè, êîòîðûå
ìîãóò ïðåäñòàâèòüñÿ â êàæäîì èç óêàçàííûõ ñïîñîáîâ.

        8.4. Ñ ï î ñ î á à1 (îáùèé ïðÿìîé ìåòîä). Ïóñòü X                        e = Xn è
Ye = Yn ñóòü n -ìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà, íàòÿíóòûå íà ñèñòåìû âåêòîðîâ
(e1 , e2 , . . . , en ) è (g1 , g2 , . . . , gn ) ñîîòâåòñòâåííî. Çàäà÷ó (8.1) áóäåì ðåøàòü
êàêèì-ëèáî ïðÿìûì ìåòîäîì:
                 An xn = yn (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn , n = 1, 2, . . .),                    (8.8)
ãäå yn  äàííûé, xn  èñêîìûé ýëåìåíòû, à An  íåêîòîðûé ëèíåé-
íûé îïåðàòîð èç Xn â Yn .  ýòîì ñëó÷àå íàõîæäåíèå ïðèáëèæåííîãî
êâàçèðåøåíèÿ x0n èñõîäíîé çàäà÷è (8.1) ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ òî÷íîãî
êâàçèðåøåíèÿ ïðèáëèæåííîé çàäà÷è (8.8) íà Mn = M ∩ Xn , ãäå Mn åñòü
n -ìåðíûé øàð ïðîñòðàíñòâà Xn :
                                          n
                                          X
                                      2
                                kxn k =          | ak | 2 6 R2 .                      (8.9)
                                           k=1
                                                                                 P
                                                                                 n
      Ïóñòü íà Mn óðàâíåíèå (8.8) èìååò êâàçèðåøåíèå x0n =                            a0k ek .
                                                                                k=1
Òîãäà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (8.9) êîýôôèöèåíòû a01 , . . . , a0n îïðåäåëÿ-
þòñÿ èç ñèñòåìû
                 n
                 X
                        ak (An ek , An em ) = (yn , An em ),       m = 1, n.      (8.10◦ )
                  k=1

Страницы