Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
∗
: Y −→ X A : X −→ Y µ
◦ 0
Kx ≡ λx + A
∗
Ax = A
∗
y, (8.3)
λ = 0 λ = µ > 0
{e
i
} {g
j
}
X Y a
i
= (x, e
i
), i = 1, 2, . . . ,
b
j
= (y, g
j
), j = 1, 2, . . . , x ∈ X
y ∈ Y
λa
m
+
∞
X
k=1
a
k
∞
X
j=1
α
jk
α
jm
=
∞
X
j=1
b
j
α
jm
(m = 1, 2, . . .), (8.4)
α
j k
= (Ae
k
, g
j
) Ae
k
g
j
α
jm
= α
∗
mj
A
∗
e
Aex = ey (ex ∈
e
X, ey ∈
e
Y ), (8.5)
e
X
e
Y X Y
e
A
e
X
e
Y
f
M =
f
M
R
= M
R
∩
e
X
e
x
0
ãäå A∗ : Y −→ X  ñîïðÿæåííûé ê A : X −→ Y îïåðàòîð, à µ 
ïîëîæèòåëüíûé ïàðàìåòð.
     Äëÿ óäîáñòâà ðàññóæäåíèé óðàâíåíèÿ (8.3 ◦ ) è (8.3 0 ) â äàëüíåéøåì
áóäåì ðàññìàòðèâàòü â âèäå îäíîãî îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ

                              Kx ≡ λx + A∗ Ax = A∗ y,                             (8.3)

ãäå λ = 0 è λ = µ > 0 ñîîòâåòñòâåííî.
     Óðàâíåíèþ (8.3) â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî ïðèäàòü òàêæå íåñêîëüêî
äðóãîé âèä. Ïóñòü {ei } è {gj }  ïîëíûå îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû
ñîîòâåòñòâåííî â X è Y . Òîãäà, îáîçíà÷àÿ ÷åðåç ai = (x, ei ), i = 1, 2, . . . ,
è bj = (y, gj ), j = 1, 2, . . . , êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ýëåìåíòîâ x ∈ X è
y ∈ Y ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèå (8.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñëåäóþùåé
ýêâèâàëåíòíîé åìó ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
                   ∞
                   X          ∞
                              X                 ∞
                                                X
           λam +         ak         αjk αjm =         bj αjm (m = 1, 2, . . .),   (8.4)
                   k=1        j=1               j=1

ãäå αj k = (Aek , gj )  êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ýëåìåíòà Aek ïî ñèñòåìå
              ∗
gj , à αjm = αmj   ýëåìåíòû ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùåé ñîïðÿæåííîìó
îïåðàòîðó A∗ .

       8.3. Ïîñêîëüêó îïðåäåëåíèå òî÷íîãî êâàçèðåøåíèÿ çàäà÷è (8.1),
ò. å. ðåøåíèå â ÿâíîé ôîðìå óðàâíåíèÿ (8.3) èëè, ÷òî ñâîäèòñÿ ê òîìó
æå, áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (8.4), â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ äå-
ëîì âåñüìà çàòðóäíèòåëüíûì è âûïîëíèìûì ëèøü â î÷åíü ðåäêèõ ñëó÷à-
ÿõ, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ êâàçèðåøåíèÿ ïîëåçíûìè ìîãóò áûòü ñëåäóþùèå
ïðèáëèæåííûå ñïîñîáû.
       Ñ ï î ñ î á  à. Ïóñòü èñõîäíàÿ çàäà÷à (8.1) ñ ñàìîãî íà÷àëà ðå-
øàåòñÿ êàêèì-ëèáî ïðèáëèæåííûì ìåòîäîì, ïðè êîòîðîì îíà çàìåíÿåòñÿ
ïðèáëèæåííîé çàäà÷åé âèäà

                              ex = ye (e
                              Ae           e ye ∈ Ye ),
                                       x ∈ X,                                     (8.5)
    e è Ye  ïîäïðîñòðàíñòâà X è Y ñîîòâåòñòâåííî, à A
ãäå X                                                 e  ëèíåéíûé
íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç X e â Ye . Ïóñòü äàëüøå èùåòñÿ êâàçèðåøåíèå
ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ (8.5) íà ìíîæåñòâå M f=M  fR = MR ∩ X e , êî-
òîðîå áóäåì íàçûâàòü ïðèáëèæåííûì êâàçèðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (8.1) è
îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç xe0 .

Страницы