Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R(A) A
−1
Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y ), (8.1)
y x
x
0
x
0
∈ M ⊂ H : kAx
0
− yk = inf
x∈M
kAx − yk
Y
, y ∈ H,
M X
M
n
(n = 1, 2, . . .), M.
M = M
R
kxk 6 R < ∞ (8.2)
X
y
A
∗
Ax = A
∗
y, (8.3
◦
)
µx + A
∗
Ax = A
∗
y, (8.3
0
)
îáëàñòüþ çíà÷åíèé R(A) , ïðè÷åì îáðàòíûé îïåðàòîð A−1 ñóùåñòâóåò, íî
íå îãðàíè÷åí.
      Ðàññìîòðèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå

                        Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y ),                       (8.1)
ãäå y  äàííûé, à x  èñêîìûé ýëåìåíòû. Èçâåñòíî [44], [71], ÷òî çà-
äà÷à ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (8.1) îòíîñèòñÿ ê êëàññó íåêîððåêòíî [41][43]
ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. Â.Ê. Èâàíîâ (ñì., íàïð., â [41], [42], [44]) ââåë ïîíÿ-
òèå êâàçèðåøåíèÿ x0 :

           x0 ∈ M ⊂ H : kAx0 − yk = inf kAx − ykY ,      y ∈ H,
                                       x∈M

è ïðè âåñüìà îáùèõ óñëîâèÿõ ïîêàçàë, ÷òî åñëè âìåñòî èñòèííîãî ðåøåíèÿ
çàäà÷è (8.1) èñêàòü åå êâàçèðåøåíèå íà íåêîòîðîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå
M ïðîñòðàíñòâà X , òî äëÿ òàêîãî ðåøåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ âñå êëàññè÷åñêèå
óñëîâèÿ êîððåêòíîñòè (ñì. ðàáîòû [44], [66], [71]).
      Êâàçèðåøåíèå, êàê è èñòèííîå ðåøåíèå, â îáùåì ñëó÷àå ïðèõî-
äèòñÿ îïðåäåëÿòü òîëüêî ïðèáëèæåííî. Äëÿ ýòèõ öåëåé â ðÿäå ðàáîò
(ñì., íàïð., â [44]) ïðåäëîæåí ðÿä ñõîäÿùèõñÿ ïðîöåññîâ, îñíîâàííûõ íà
ðàññìîòðåíèè êâàçèðåøåíèÿ çàäà÷è (8.1) íà êîíå÷íîìåðíûõ ìíîæåñòâàõ
Mn (n = 1, 2, . . .), àïïðîêñèìèðóþùèõ ìíîæåñòâî M.
      Â ýòîì ïàðàãðàôå, ñëåäóÿ íàøèì ðàáîòàì [15], [16], ìû óêàçûâàåì
äâà ïðèáëèæåííûõ ñïîñîáà äëÿ íàõîæäåíèÿ êâàçèðåøåíèÿ çàäà÷è (8.1)
íà íåêîòîðûõ êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ.

     8.2. Ïóñòü íèæå M = MR åñòü øàð

                              kxk 6 R < ∞                             (8.2)
ïðîñòðàíñòâà X . Ïîñêîëüêó øàð ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ñëàáîêîìïàêòíûì
ìíîæåñòâîì â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå è ýòî ïðîñòðàíñòâî ìåòðèçóå-
ìî îòíîñèòåëüíî ñëàáîé òîïîëîãèè, òî êâàçèðåøåíèå â íåì ñóùåñòâóåò,
åäèíñòâåííî è ñëàáî íåïðåðûâíî çàâèñèò îò y (ñì. [41], [44]). Òîãäà ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (8.2) êâàçèðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ

                              A∗ Ax = A∗ y,                          (8.3◦ )
ò. å. ñîâïàäàåò ñ èñòèííûì ðåøåíèåì; åñëè æå óñëîâèå (8.2) íå âûïîëíåíî,
òî êâàçèðåøåíèå íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ

                            µx + A∗ Ax = A∗ y,                       (8.30 )

Страницы