Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.2 x
n
∈ X
n
kx
∗
− x
∗
n
k 6 k(E − K
−1
n
P
n
K)(x
∗
− x
n
)k + ε
(n)
1
kx
n
k kK
−1
n
k, (7.12)
x
∗
= K
−1
y x
∗
n
= K
−1
n
y
n
y
n
= P
n
y P
n
kx
∗
− x
∗
n
k 6 2kx
∗
− x
∗
n
k 6
6 2{(1 + N
n
kKk kP
n
k(1 − q
n
)
−1
)kx
∗
− x
n
k + N
n
(1 − q
n
)
−1
ε
(n)
1
kx
n
k} 6
6 2(1 − q
n
)
−1
{(1 + N
n
kKk kP
n
k)kx
∗
− x
n
k + ε
(n)
1
N
n
kx
n
k}. (7.13)
(7.10) (7.13) 7.2
ky − Kx
∗
n
k 6 ky − y
n
k + kK − K
n
k
X
n
→Y
· kx
∗
n
k 6
6 ky − y
n
k + {ε
(n)
1
+ ε
(n)
2
kE − P
n
k
Y
0
→Y
}N
n
(1 − q
n
)
−1
ky
n
k 6
6 ky − y
n
k + 2p
n
(1 − q
n
)
−1
(1 + ε
(n)
3
)ky
n
k =
= ky − P
n
yk + 2(1 + ε
(n)
3
)p
n
kP
n
yk(1 − q
n
)
−1
,
7.1 7.2
x
∗
n
∈ X
n
x
∗
∈ X
§
§
X Y
A X Y Y
Òîãäà ïî òåîðåìå 3.2 äëÿ ëþáîãî xn ∈ X n íàõîäèì
                                −1                    (n)            −1
    kx∗ − x∗n k 6 k(E − K n Pn K)(x∗ − xn )k + ε1 kxn k kK n k,                 (7.12)
             −1                 −1
ãäå x∗ = K y , x∗n = K n yn , yn = Pn y . Åñëè æå Pn  îãðàíè÷åííûé
îïåðàòîð, òî ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì

                           kx∗ − x∗n k 6 2kx∗ − x∗n k 6
                                                                          (n)
 6 2{(1 + N n kKk kPn k(1 − q n )−1 )kx∗ − xn k + N n (1 − q n )−1 ε1 kxn k} 6
                                                            (n)
    6 2(1 − q n )−1 {(1 + N n kKk kPn k)kx∗ − xn k + ε1 N n kxn k}.             (7.13)
     Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó (7.10) , (7.13) òåîðåìà 7.2 è åå ñëåäñòâèå 2
äîêàçàíû.
     Äàëåå, ñíîâà ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì

            ky − Kx∗n k 6 ky − yn k + kK − Kn kXn →Y · kx∗n k 6
                          (n)        (n)
       6 ky − yn k + {ε1 + ε2 kE − Pn kY0 →Y }N n (1 − q n )−1 kyn k 6
                                                      (n)
                  6 ky − yn k + 2pn (1 − q n )−1 (1 + ε3 )kyn k =
                                           (n)
                  = ky − Pn yk + 2(1 + ε3 )pn kPn yk(1 − q n )−1 ,
ò. å. ñëåäñòâèå 1 òàêæå äîêàçàíî.
       Î÷åâèäíî, ÷òî ñ ïîìîùüþ òåîðåì 7.1 è 7.2 è èõ ñëåäñòâèé ëåã-
êî óñòàíîâèòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé
x∗n ∈ Xn ê òî÷íîìó x∗ ∈ X â òîì èëè èíîì ñìûñëå.


       § 8. Ïðÿìûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷
                      â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ

     8.1. Â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû
ïî ïðÿìûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ óðàâíåíèé â ïðîèçâîëüíûõ
áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.  ñëó÷àå ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ ýòè ðå-
çóëüòàòû çíà÷èòåëüíî óïðîùàþòñÿ è óñèëèâàþòñÿ. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå
íåçàâèñèìî îò § 7 ìîæíî óêàçàòü è äðóãèå ðåçóëüòàòû, êîòîðûå â ñëó÷àå
ïðîèçâîëüíûõ áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ, âîîáùå ãîâîðÿ, óæå íå ñïðàâåäëè-
âû.
     Èòàê, ïóñòü X è Y  ñåïàðàáåëüíûå ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà, à
A  ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç X â Y ñî âñþäó ïëîòíîé â Y

Страницы