Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K : X −→ Y
kK − K
n
k
X
n
→Y
6 kK − K
n
k
X
n
→Y
6 ε
(n)
1
+ ε
(n)
2
kE − P
n
k
Y
0
−→Y
,
2.1
K
−1
nl
kK
−1
nl
k 6 kK
−1
k(1 − p
n
)
−1
2.1
K
n
: X
n
→ Y
n
kK
−1
n
k 6 kK
−1
k(1 − p
n
)
−1
. (7.3)
y
n
∈ Y
n
x
∗
n
∈ X
n
K
n
x
∗
n
= y
n
3.1,
ky − Kx
∗
n
k 6 ky − y
n
k + k(K − K
n
)x
∗
n
k = ky − y
n
k + k(K − K
n
)x
∗
n
k 6
6 ky−y
n
k+kK−K
n
k
X
n
→Y
·kx
∗
n
k 6 ky−y
n
k+kK−K
n
k
X
n
→Y
·kK
−1
n
k ky
n
k 6
6 ky − y
n
k + p
n
(1 − p
n
)
−1
ky
n
k 6 (ky − y
n
k + p
n
kyk)(1 − p
n
)
−1
,
x
∗
n
(x
∗
)
x
∗
n
(x
∗
)
y = Kx
∗
= Kx
∗
y
n
= K
n
x
∗
n
= K
n
x
∗
n
7.1
q
n
= 2kK
−1
k{ε
(n)
1
(1 + ε
(n)
3
) + ε
0(n)
3
} < 1; (7.4)
P
2
n
= P
n
(4.1) y ∈ Y
(4.2) x
∗
n
∈ X
n
y
n
= P
n
y ∈ Y
n
kx
∗
n
k 6 N
n
(1 − q
n
)
−1
kyk, N
n
= 2(1 + ε
(n)
3
)kK
−1
k. (7.5)
     Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó óñëîâèÿ â) îïåðàòîð K : X −→ Y íåïðå-
ðûâíî îáðàòèì [47]. Òàê êàê
                                                        (n)      (n)
     kK − K n kX n →Y 6 kK − Kn kXn →Y 6 ε1 + ε2 kE − Pn kY 0 −→Y ,

òî â ñèëó óñëîâèÿ à) èç òåîðåìû 2.1 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå îïåðàòîðà
   −1      −1        −1
K nl è kK nl k 6 kK k(1 − pn )−1 . Òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ á) è ëåììû 2.1
îïåðàòîð K n : X n → Yn ëèíåéíî îáðàòèì è
                             −1             −1
                         kK n k 6 kK             k(1 − pn )−1 .                      (7.3)

À òîãäà ïî òåîðåìå î ãîìîìîðôèçìàõ [47] äëÿ ëþáîãî yn ∈ Yn ñóùåñòâóåò
x∗n ∈ Xn òàêîé, ÷òî Kn x∗n = yn . Îòñþäà, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû
3.1, ñ ïîìîùüþ (7.3) ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì

 ky − Kx∗n k 6 ky − yn k + k(K − Kn )x∗n k = ky − yn k + k(K − K n )x∗n k 6
                                                                                −1
6 ky−yn k+kK −K n kX n →Y ·kx∗n k 6 ky−yn k+kK −K n kX n →Y ·kK n k kyn k 6
     6 ky − yn k + pn (1 − pn )−1 kyn k 6 (ky − yn k + pn kyk)(1 − pn )−1 ,
ãäå ÷åðåç x∗n (x∗ ) îáîçíà÷åíû êëàññû ñìåæíîñòè, ñîäåðæàùèå ýëåìåíòû
x∗n (x∗ ) .
      Òàêèì îáðàçîì, îöåíêà (7.1) äîêàçàíà. Òàê êàê y = Kx∗ = Kx∗ è
yn = Kn x∗n = K n x∗n , òî óòâåðæäåíèå ñëåäñòâèÿ ìîæíî âûâåñòè èç ðåçóëü-
òàòîâ ïî êàíîíè÷åñêîìó ãîìîìîðôèçìó [47].
      Òåîðåìà 7.1 äîêàçàíà. Àíàëîãè÷íî, íî ñ ïîìîùüþ òåîðåì 2.2 è 3.2
äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ

     Òåîðåìà 7.2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     à) I è III ñ
                             −1     (n)           (n)         0(n)
                    q n = 2kK k{ε1 (1 + ε3 ) + ε3 } < 1;                             (7.4)

     á) Pn2 = Pn ;
     â) óðàâíåíèå (4.1) ðàçðåøèìî ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè y ∈ Y .
     Òîãäà óðàâíåíèå (4.2) òàêæå èìååò ðåøåíèå x∗n ∈ Xn ïðè ëþáîé
ïðàâîé ÷àñòè yn = Pn y ∈ Yn , ïðè÷åì
                                                                     (n)   −1
           kx∗n k 6 N n (1 − q n )−1 kyk,        N n = 2(1 + ε3 )kK k.               (7.5)

Страницы