Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
j→∞
A
j
= A, lim
j→∞
A
j
n
= A
n
(n > n
0
) (6.33)
L(X, X) L(X
n
, X
n
)
kK
−1
− A
j
k
X→X
6 kK
−1
kq
2
j−1
,
kK
−1
n
− A
j
n
k
X
n
→X
n
6 kK
−1
n
kq
2
j−1
n
, j = 1, 2, . . . . (6.34)
K
−1
K
−1
n
§
K :
X −→ Y
§ 8
K
−1
(1.1)
y ∈ Y
(1.1)
2 2.2
(1.2)
3.1 3.2;
2.1,
Äëÿ (6.32) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

                   lim Aj = A,     lim Ajn = An (n > n0 )                  (6.33)
                  j→∞             j→∞

â ïðîñòðàíñòâàõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ L(X, X) è L(Xn , Xn ) ñîîòâåò-
ñòâåííî ñî ñêîðîñòÿìè, îïðåäåëÿåìûìè íåðàâåíñòâàìè
                                                       j−1
                     kK −1 − Aj kX→X 6 kK −1 kq 2            ,
                                             j−1
              kKn−1 − Ajn kXn →Xn 6 kKn−1 kqn2     ,   j = 1, 2, . . . .   (6.34)
     Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (6.32) ãðóáî
íàéäåííûå çíà÷åíèÿ îáðàòíûõ îïåðàòîðîâ K −1 è Kn−1 â óñëîâèÿõ (6.31)
ìîãóò áûòü óòî÷íåíû äî ëþáîé ñòåïåíè òî÷íîñòè.


§ 7. Î ïðÿìûõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ íåêîððåêòíûõ çàäà÷

       Ïðè îáîñíîâàíèè ïðèáëèæåííûõ (â òîì ÷èñëå ïðÿìûõ) ìåòîäîâ
ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé â ðÿäå ñëó÷àåâ ìû ñóùåñòâåííûì îá-
ðàçîì ïîëüçîâàëèñü óñëîâèåì íåïðåðûâíîé îáðàòèìîñòè îïåðàòîðà K :
X −→ Y . Îäíàêî ýòî óñëîâèå íà ïðàêòèêå íåðåäêî íå âûïîëíÿåòñÿ; òî-
ãäà çàäà÷à ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) íå ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíîé ïî Àäàìàðó
[44], [66], [71]. Â ýòîì ïàðàãðàôå (ñì. òàêæå § 8 ) ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðî-
ñû îáîñíîâàíèÿ ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) ïðè íàðóøåíèè
íåêîòîðûõ óñëîâèé êîððåêòíîñòè.
       Èòàê, ïóñòü îïåðàòîð K −1 íå ñóùåñòâóåò, íî, òåì íå ìåíåå, óðàâ-
íåíèå (1.1) èìååò ðåøåíèå (âîîáùå ãîâîðÿ, íå åäèíñòâåííîå) ïðè ëþ-
áîé ïðàâîé ÷àñòè y ∈ Y (òàêàÿ ñèòóàöèÿ õàðàêòåðíà äëÿ ñèíãóëÿðíûõ
èíòåãðàëüíûõ è èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è êðàåâûõ çàäà÷
òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ). Òîãäà ìíîãèå èç âûøåïðèâå-
äåííûõ ðåçóëüòàòîâ íå âåðíû, íî îáîñíîâàíèå ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (1.1) ìîæíî âåñòè íà îñíîâå íåêîòîðûõ èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ.
 ÷àñòíîñòè, â óñëîâèÿõ ñëåäñòâèÿ 2 èç òåîðåìû 2.2 èç ðàçðåøèìîñòè
òî÷íîãî óðàâíåíèÿ ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè ñëåäóåò ðàçðåøèìîñòü ïðè-
áëèæåííîãî óðàâíåíèÿ (1.2) òîæå ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè, à ïîãðåøíîñòü
ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ òåîðåì 3.1 è 3.2; êðî-
ìå òîãî, ðàçðåøèìîñòü ïðèáëèæåííûõ óðàâíåíèé ìîæíî äîêàçàòü ñ ïî-
ìîùüþ òåîðåìû 2.1, ïåðåõîäÿ ïðåäâàðèòåëüíî îò îñíîâíûõ ïðîñòðàíñòâ

Страницы