Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ ψ ϕ
−1
ψ
−1
Kx = y (x = ϕex ∈ X, y = ψey = P y ∈ Y ), (6.29)
K = ψ
e
Kϕ
−1
, P = ψP
e
K = ψ
−1
Kϕ, P = ψ
−1
P . (6.30)
X Y K P
K
−1
: Y −→ X K
−1
n
:
Y
n
−→ X
n
K
−1
K
−1
n
K
X = Y K
n
X
n
= Y
n
X X
n
K K
n
(n > n
0
) X
X
n
K
−1
≡ A, K
−1
n
≡ A
n
(n > n
0
).
A A
n
A
1
≈ A
A
1
n
≈ A
n
,
q = kE −KA
1
k
X→X
< 1, q
n
= kE −K
n
A
1
n
k
X
n
→X
n
< 1 (n > n
0
). (6.31)
K
−1
K
−1
n
A
j+1
= A
j
(2E − KA
j
), A
j+1
n
= A
j
n
(2E − K
n
A
j
n
), n > n
0
, j = 1, 2, . . . .
(6.32)
îïåðàòîðû ϕ è ψ èìåþò ëèíåéíûå îáðàòíûå ϕ−1 è ψ −1 . Ïîýòîìó ïðè-
áëèæåííîå óðàâíåíèå (1.2) ïðèâîäèòñÿ ê ýêâèâàëåíòíîìó óðàâíåíèþ âèäà

              Kx = y (x = ϕe
                           x ∈ X, y = ψe
                                       y = P y ∈ Y ),                   (6.29)

ãäå
            e −1 ,
      K = ψ Kϕ       P = ψP     è   e = ψ −1 Kϕ,
                                    K                P = ψ −1 P .       (6.30)

Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ (1.2) è (6.29) ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè âî âïîëíå
îïðåäåëåííîì ñìûñëå, òî ñîîòíîøåíèÿ (6.30) ïîçâîëÿþò ïåðåíåñòè âñå
ðåçóëüòàòû, óñòàíîâëåííûå äëÿ óðàâíåíèÿ (1.2), íà óðàâíåíèÿ (6.29), è
íàîáîðîò.  ÷àñòíîñòè, ó÷èòûâàÿ (6.30) è ñëåäóÿ Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ó [47,
ñ. 500503], âñå âûøåïðèâåäåííûå òåîðåìû ëåãêî ïåðåôîðìóëèðîâàòü â
òåðìèíàõ ïîäïðîñòðàíñòâ X è Y è îïåðàòîðîâ K è P . Ââèäó î÷åâèä-
íîñòè íà ýòîì áîëåå ïîäðîáíî îñòàíàâëèâàòüñÿ íå áóäåì.

      6.6. Ìíîãèå ðåçóëüòàòû ðàáîòû îñíîâàíû íà ñóùåñòâîâàíèè îáðàò-
íîãî îïåðàòîðà K −1 : Y −→ X (èëè æå îáðàòíîãî îïåðàòîðà Kn−1 :
Yn −→ Xn ) è îöåíêàõ íîðì îáðàòíûõ îïåðàòîðîâ. Ðÿä âàæíûõ ðåçóëüòà-
òîâ äëÿ îöåíêè íîðì îáðàòíûõ îïåðàòîðîâ ïîëó÷åí â ðàáîòàõ È.Ï. Ìû-
ñîâñêèõ è Ñ.À. Øåëåïåíü (ñì., íàïð., ðàáîòó [73] è áèáëèîãðàôèþ â íåé).
      Îòìåòèì, ÷òî ãðóáî íàéäåííûå îáðàòíûå îïåðàòîðû K −1 è Kn−1 â
ðÿäå ñëó÷àåâ ìîãóò áûòü óòî÷íåíû ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ èòåðàöèîí-
íûõ ïðîöåññîâ. Óêàæåì îäèí èç òàêèõ ïðîöåññîâ äëÿ îïåðàòîðîâ K èç
(4.1) ïðè X = Y è îïåðàòîðîâ Kn èç (4.2) ïðè Xn = Yn (îáùèé ñëó÷àé
ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî), ãäå X  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, à Xn 
åãî êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.
      Ïóñòü îïåðàòîðû K è Kn (n > n0 ) íåïðåðûâíî îáðàòèìû â X è
Xn ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëîæèì K −1 ≡ A, Kn−1 ≡ An (n > n0 ). Ïóñòü äëÿ
A è An íàéäåíû íåêîòîðûå, âîîáùå ãîâîðÿ, ãðóáûå ïðèáëèæåíèÿ A1 ≈ A
è A1n ≈ An , òàêèå, ÷òî

 q = kE − KA1 kX→X < 1,    qn = kE − Kn A1n kXn →Xn < 1 (n > n0 ). (6.31)

Òîãäà, ñëåäóÿ [5], îáðàòíûå îïåðàòîðû K −1 è Kn−1 ìîæíî íàéòè êàê ïðå-
äåëû èòåðàöèîííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñîîòâåòñòâåííî

 Aj+1 = Aj (2E − KAj ),   Aj+1
                           n   = Ajn (2E − Kn Ajn ), n > n0 , j = 1, 2, . . . .
                                                                       (6.32)

Страницы