Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ky − Kx
∗
n
k
Y
= O{E
n
(x
∗
)
X
} → 0, n → ∞. (6.26)
ex ∈
e
X
||Kex −
e
Kex|| 6 ε
4
||ex||,
ε
4
ex ∈
e
X.
P
2
= P
ε
4
= ε
1
+ ε
2
||E − P ||
Y
0
→Y
, (6.27)
Y
0
Y,
y
0
= Kex − ey (ex ∈
e
X, ey ∈
e
Y );
P
ε
4
= ε
1
+ 2 ε
2
kP k. (6.28)
L
2
ε
4
ε
4
= ∞.
X Y
ϕ ψ
e
X
e
Y
X Y
ïîýòîìó
               ky − Kx∗n kY = O{En (x∗ )X } → 0,    n → ∞.            (6.26)

     6.4. Äàëåå, ðàññìîòðèì óñëîâèå

     IV. Äëÿ ëþáîãî x e
                    e∈X
                           ||Ke ex
                              x−K e|| 6 ε4 ||e
                                             x||,
ãäå ε4  ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò x      e ∈ X.e
      Îòìåòèì, ÷òî ýòî óñëîâèå ïî ñóùåñòâó óæå èñïîëüçîâàíî íàìè â
òåîðåìàõ 2.1, 2.3, 3.1 (ñì. ñëåäñòâèå), 4.1, 5.1, 5.3.
      Êàê âèäíî èç çàìå÷àíèÿ 2.2, èç óñëîâèé I è II ïðè P 2 = P ñëåäóåò
óñëîâèå IV ñ
                         ε4 = ε1 + ε2 ||E − P ||Y 0 →Y ,          (6.27)
ãäå Y 0  ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç Y, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå
                      y 0 = Ke
                             x − ye (e   e ye ∈ Ye );
                                     x ∈ X,
åñëè æå P  îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, òî ìîæíî ïîëîæèòü
                             ε4 = ε1 + 2 ε2 kP k.                     (6.28)
Îäíàêî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå âåðíî, ò. å. èç óñëîâèÿ IV óñëîâèÿ I è II (â
ñîâîêóïíîñòè) íå ñëåäóþò. Áîëåå òîãî, â ðÿäå ñëó÷àåâ (ñì., íàïð., [10], [17],
[18] îá îáîñíîâàíèè ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé â ïðîñòðàíñòâå L2 ) äàæå óñëîâèÿ (6.27) è (6.28) ñóùåñòâåííî
îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà â òîì ñìûñëå, ÷òî óñëîâèå (6.27) âûïîëíÿåòñÿ ñ
äîñòàòî÷íî ìàëîé âåëè÷èíîé ε4 , à óñëîâèå (6.28)  ñ âåëè÷èíîé ε4 = ∞.

     6.5. Âûøå ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ âñþäó ðàññìàòðèâàëèñü íà
ïîäïðîñòðàíñòâàõ îñíîâíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïðèõîäèò-
ñÿ èìåòü äåëî ñ ìåòîäàìè, ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ êîòîðûõ çàäàþòñÿ
íà ïðîñòðàíñòâàõ, èçîìîðôíûõ íåêîòîðûì ïîäïðîñòðàíñòâàì èñõîäíûõ
ïðîñòðàíñòâ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò ñìûñë îñòàíîâèòüñÿ íà èññëåäîâàíèè
òàêèõ óðàâíåíèé è óêàçàòü ñïîñîá ïåðåíåñåíèÿ ïîëó÷åííûõ âûøå ðåçóëü-
òàòîâ íà ýòîò ñëó÷àé.
     Ïóñòü X è Y  íåêîòîðûå ïîëíûå ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðî-
ñòðàíñòâà, è ïóñòü ñóùåñòâóþò ëèíåéíûå îïåðàòîðû ϕ è ψ , îñóùåñòâëÿ-
þùèå âçàèìíî îäíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâ X    e è Ye íà ïðî-
ñòðàíñòâà X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Ñîãëàñíî èçâåñòíîé òåîðåìå Áàíàõà

Страницы