Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α
k
x
∗
n
∈ X
n
E
n
(x
∗
)
X
6 kx
∗
− x
∗
n
k
X
6 η(K) inf
α
k
∈C
kx
∗
−
n
X
k=1
α
k
ϕ
k
k
X
= η(K) E
n
(x
∗
)
X
.
kx
∗
− x
∗
n
k
X
= O{E
n
(x
∗
)
X
} → 0, n → ∞. (6.22)
6.3
K : X −→ Y
{Kϕ
k
}
∞
1
⊂ Y Y.
kx
∗
− x
∗
n
k
X
6 kK
−1
k
Y →X
ky − Kx
n
k
Y
, n ∈ N,
x
n
∈ X
kx
∗
− x
∗
n
k
X
6 kK
−1
k
Y →X
inf
α
k
∈C
ky −
n
X
k=1
α
k
Kϕ
k
k
Y
≡
≡ kK
−1
k
Y →X
E
n
(y)
Y
, n ∈ N. (6.23)
K
kx
∗
− x
∗
n
k
X
= O{E
n
(y)
Y
} → 0, n → ∞. (6.24)
K
−1
: Y −→ X
ky − Kx
∗
n
k
Y
6 ky − Kx
n
k
Y
= kK(x
∗
− x
n
)k
Y
6 kKk
X→Y
kx
∗
− x
n
k
X
;
x
n
∈ X
n
ky − Kx
∗
n
k
Y
6 kKk
X→Y
inf
α
k
∈C
kx
∗
−
n
X
k=1
α
k
ϕ
k
k
X
≡
≡ kKk
X→Y
· E
n
(x
∗
)
X
, n ∈ N, (6.25)
ãäå αk  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîýòîìó â ñèëó (6.21) è x∗n ∈ Xn
èìååì
                                                        n
                                                        X
      ∗         ∗
 En (x )X 6 kx −      x∗n kX   6 η(K) inf kx −     ∗
                                                              αk ϕk kX = η(K) En (x∗ )X .
                                        αk ∈C
                                                        k=1

Îòñþäà è èç óñëîâèé à) è á) òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî

                kx∗ − x∗n kX = O{En (x∗ )X } → 0,                   n → ∞.          (6.22)

     Òåîðåìà 6.3 äîêàçàíà.
     Çàìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû î ñõîäèìîñòè ìåòîäà îñòàåòñÿ
ñïðàâåäëèâûì è òîãäà, êîãäà îïåðàòîð K : X −→ Y ÿâëÿåòñÿ íåîãðà-
íè÷åííûì; â ýòîì ñëó÷àå äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà
ôóíêöèé {Kϕk }∞ 1 ⊂ Y ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé â ïðîñòðàíñòâå Y. Òîãäà â ñèëó
íåðàâåíñòâà (6.19) è ïåðâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâ (6.20) èìååì

            kx∗ − x∗n kX 6 kK −1 kY →X ky − Kxn kY ,                   n ∈ N,

ãäå xn ∈ X  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò âèäà (6.16). Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëü-
íî íàõîäèì
                                                              n
                                                              X
            ∗
          kx −      x∗n kX         −1
                             6 kK kY →X inf ky −                    αk Kϕk kY ≡
                                                αk ∈C
                                                              k=1

                         ≡ kK −1 kY →X En (y)Y ,            n ∈ N.                  (6.23)
Îòñþäà â ñèëó K -ïîëíîòû [63] ñèñòåìû ôóíêöèé (6.15) íàõîäèì

                    kx∗ − x∗n kX = O{En (y)Y } → 0,             n → ∞.              (6.24)

      Åñëè æå íåîãðàíè÷åííûì ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð K −1 : Y −→ X , òî
åñòåñòâåííî èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü íåâÿçêè ìåòîäà.  ýòîì ñëó÷àå èç
(6.19) íàõîäèì

  ky − Kx∗n kY 6 ky − Kxn kY = kK(x∗ − xn )kY 6 kKkX→Y kx∗ − xn kX ;

îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ýëåìåíòà xn ∈ Xn ñëåäóåò, ÷òî
                                                              n
                                                              X
           ky −      Kx∗n kY   6 kKkX→Y inf kx −        ∗
                                                                    αk ϕk kX ≡
                                            αk ∈C
                                                              k=1

                             ≡ kKkX→Y · En (x∗ )X , n ∈ N,                          (6.25)

Страницы