Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6 kE − P
n
k kKkE
n
(x
∗
).
K
kx
∗
− x
∗
n
k 6 η(K)E
n
(x
∗
)kE − P
n
k,
E
n
(x
∗
) = ρ(x
∗
, X
n
)
X
, E
n
(y) = ρ(y, Y
n
)
Y
. Y
P
n
Y
n
,
ky − Kx
∗
n
k 6 E
n
(y), kx
∗
− x
∗
n
k 6 η(K)E
n
(x
∗
),
η(K) = kKk kK
−1
k K.
§
X
ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n
, . . . , (6.15)
Y (f, g)
Y
f, g ∈ Y kfk
Y
=
=
p
(f, f), f ∈ Y
x
n
=
n
X
k=1
α
k
ϕ
k
∈ X, n ∈ N, (6.16)
α
k
∈ C
r
n
≡ y − Kx
n
Y.
§
n
X
k=1
α
k
(Kϕ
k
, Kϕ
j
)
Y
= (y, Kϕ
j
)
Y
, j = 1, n. (6.17)
K : X −→ Y
Ax = y (x, y ∈ X) A : X −→ X
X = Y
                           6 kE − Pn k kKkEn (x∗ ).
Îòñþäà â ñëó÷àå îáðàòèìîñòè îïåðàòîðà K íàõîäèì

                      kx∗ − x∗n k 6 η(K)En (x∗ )kE − Pn k,

ãäå En (x∗ ) = ρ(x∗ , Xn )X , En (y) = ρ(y, Yn )Y . Åñëè æå Y  ãèëüáåðòîâî
ïðîñòðàíñòâî, à Pn  îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ íà Yn ,
òî, î÷åâèäíî, èìååì îöåíêè

              ky − Kx∗n k 6 En (y), kx∗ − x∗n k 6 η(K)En (x∗ ),

ãäå η(K) = kKk kK −1 k  ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè îïåðàòîðà K.
     Äðóãèìè ñëîâàìè, èç ïðèâåäåííûõ âûøå îáùèõ ðåçóëüòàòîâ ïîëó-
÷àþòñÿ óòâåðæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå îäíîìó ðåçóëüòàòó Ñ.Ã. Ìèõëèíà ïî
ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (ñì. [62][64]).
     Ê ñêàçàííîìó î ìåòîäå íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ äîáàâèì ñëåäóþùèé
ðåçóëüòàò (ñì. òàêæå íèæå § 10).
     Ïóñòü X  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñ áàçèñîì

                              ϕ1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n , . . . ,               (6.15)

à Y  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (f, g)Y
ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ f, g ∈ Y è ñ ïîðîæäàåìîé èì íîðìîé kf kY =
   p
= (f, f ), f ∈ Y . Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1) áóäåì èñêàòü
â âèäå ýëåìåíòà
                                n
                                X
                         xn =         αk ϕk ∈ X, n ∈ N,                      (6.16)
                                k=1
íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû αk ∈ C áóäåì îïðåäåëÿòü èç óñëîâèÿ ìè-
íèìàëüíîñòè íîðìû íåâÿçêè rn ≡ y − Kxn â ïðîñòðàíñòâå Y. Òîãäà,
ïîëüçóÿñü ñîîòâåòñòâóþùèìè ðåçóëüòàòàìè § 83 ìîíîãðàôèè Ñ.Ã. Ìèõëè-
íà [62], äëÿ óêàçàííûõ êîýôôèöèåíòîâ íàõîäèì ÑËÀÓ
               n
               X
                     αk (Kϕk , Kϕj )Y = (y, Kϕj )Y ,             j = 1, n.   (6.17)
               k=1

Òàêîé ñïîñîá ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) ñ îïåðàòîðîì K : X −→ Y ìîæ-
íî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ðåøåíèÿ
îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ âèäà Ax = y (x, y ∈ X) , ãäå A : X −→ X åñòü
ëèíåéíûé îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå X = Y .

Страницы