Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H X,
ε
n
≡ kH − H
n
k → 0, n → ∞, H − H
n
: X
n
→ X,
n H
n
X
n
||K
−1
|| 6 (1 − ||H||)
−1
, ||K
−1
n
|| 6 (1 − ||H
n
||)
−1
.
H
n
H
n
=
= P
n
H X
n
, ||P
n
H|| 6 1 (||P
n
|| 6 1),
||K
−1
n
|| 6 (1 − ||P
n
H||)
−1
; (kK
−1
n
k 6 (1 − ||H||)
−1
).
e
Kex ≡ P Kex = P y, P
2
= P (K
n
x
n
P
n
Kx
n
= P
n
y, P
2
n
= P
n
),
ε
1
≡ 0
(ε
(n)
1
≡ 0);
6.1
(4.1), (4.2), Y
n
Y
n
= K(X
n
) = {Kx
n
}, P
n
Y Y
n
= K(X
n
), P
2
n
= P
n
.
P
n
Kx
n
= Kx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
, P
n
y ∈ Y
n
),
Y
n
(n = 1, 2, . . . ).
(4.1)
kKx
∗
− Kx
∗
n
k = ky − P
n
yk 6 kE − P
n
kE
n
(y) = kE − P
n
kE
n
(Kx
∗
) 6
      åñëè H (èëè åãî íåêîòîðàÿ ñòåïåíü)  îïåðàòîð ñæàòèÿ â X, à

             εn ≡ kH − Hn k → 0, n → ∞,            H − Hn : Xn → X,
òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n îïåðàòîðû Hn (èëè èõ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ñòåïåíè) áóäóò îïåðàòîðàìè ñæàòèÿ â Xn è

               ||K −1 || 6 (1 − ||H||)−1 , ||Kn−1 || 6 (1 − ||Hn ||)−1 .
     Åñëè æå Hn ñòðîèòñÿ ñïåöèàëüíûì îáðàçîì, íàïðèìåð, Hn =
= Pn H íà Xn , ãäå ||Pn H|| 6 1 (||Pn || 6 1), òî ñèòóàöèÿ åùå áîëåå
óïðîùàåòñÿ:

            ||Kn−1 || 6 (1 − ||Pn H||)−1 ;   (kKn−1 k 6 (1 − ||H||)−1 ).

      6.3.  äðóãîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå (1.2)
((4.2)) ñòðîèòñÿ ñïåöèàëüíûì îáðàçîì, à èìåííî,
       ex
       K        e = P y, P 2 = P
         e ≡ P Kx                        (Kn xn Pn Kxn = Pn y, Pn2 = Pn ),
òî óñëîâèå I âûïîëíÿåòñÿ òðèâèàëüíûì îáðàçîì ñ ïîñòîÿííîé ε1 ≡ 0
  (n)
(ε1 ≡ 0); òîãäà âñå ïðèâåäåííûå âûøå òåîðåìû ñíîâà çíà÷èòåëüíî
óïðîùàþòñÿ è óñèëèâàþòñÿ (ñì., íàïð., ï. á) òåîðåìû 6.1 ). ßñíî, ÷òî
ðàññìàòðèâàåìûì ñëó÷àåì îõâàòûâàåòñÿ êëàññ âàæíûõ â ïðàêòè÷åñêîì
îòíîøåíèè ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ, íàçûâàåìûõ î÷åíü ÷àñòî ïðîåêöèîí-
íûìè. Ê òàêèì ìåòîäàì îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, ìåòîäû Ãàëåðêèíà, ìîìåí-
òîâ, íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, êîëëîêàöèè (ñîâïàäåíèÿ), ïîäîáëàñòåé è äð.
È âïîëíå åñòåñòâåííî, ÷òî ïðîåêöèîííûå ìåòîäû âåñüìà õîðîøî ðàçðàáî-
òàíû (ñì., íàïð., ðàáîòû [7], [8], [10][16], [39], [45][49], [53], [56], [57], [59],
[62][64] è áèáëèîãðàôèþ â íèõ).
      Çäåñü ìû îòìåòèì òîëüêî ñëåäóþùèå ïðîñòûå ôàêòû. Ïóñòü äàíû
óðàâíåíèÿ (4.1), (4.2), ãäå ïîäïðîñòðàíñòâî Yn âûáèðàåòñÿ ñïåöèàëüíûì
îáðàçîì, à èìåííî, Yn = K(Xn ) = {Kxn }, à Pn åñòü îïåðàòîð ïðîåêòè-
ðîâàíèÿ Y íà Yn = K(Xn ), òàêîé, ÷òî Pn2 = Pn . Òîãäà ïðèáëèæåííîå
óðàâíåíèå ïðîåêöèîííîãî ìåòîäà ïðèíèìàåò âèä

                 Pn Kxn = Kxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn ),
è îíî, î÷åâèäíî, ðàçðåøèìî ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè èç Yn (n = 1, 2, . . . ).
Ïîýòîìó â ñëó÷àå ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (4.1) äëÿ íåâÿçêè èìååì

   kKx∗ − Kx∗n k = ky − Pn yk 6 kE − Pn kEn (y) = kE − Pn kEn (Kx∗ ) 6

Страницы