Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
n
x
n
≡ x
n
+ G
−1
n
P
n
T x
n
= G
−1
n
P
n
y (x
n
, G
−1
n
P
n
y ∈ X
n
). (6.7)
Gx = y (x ∈ X, y ∈ Y ); G
n
x
n
= P
n
Gx
n
= P
n
y (x
n
∈ X
n
, P
n
y ∈ Y
n
)
δ
n
≡ kx
0
− x
0
n
k
X
= kG
−1
y − G
−1
n
P
n
yk
X
= k(E − G
−1
n
P
n
G)(G
−1
y − ex
n
)k
X
6
6 kE − G
−1
n
P
n
Gk
X→X
· E
n
(G
−1
y)
X
6
6
¡
1 + kG
−1
n
k
Y
n
→X
n
kP
n
k
Y →Y
n
kGk
X→Y
¢
E
n
(G
−1
y)
X
=
= O
©
E
n
(G
−1
y)
X
ª
→ 0, n → ∞, (6.8)
ex
n
∈ X
n
⊂ X
x
0
= G
−1
y ∈ X X
x
n
∈ X
n
, x
n
6= 0
kAx
n
− A
n
x
n
k
X
= kG
−1
T x
n
− G
−1
n
P
n
T x
n
k
X
=
= kx
n
k
X
kG
−1
T z
n
− G
−1
n
P
n
T z
n
k
X
6
6 kx
n
k
X
kE − G
−1
n
P
n
Gk
X→X
· E
n
(G
−1
T z
n
)
X
6
6 kx
n
k
X
¡
1 + kG
−1
n
P
n
Gk
X→X
¢
eε
n
, z
n
=
x
n
kx
n
k
, (6.9)
eε
n
= sup
z
n
∈X
n
kz
n
k61
E
n
(G
−1
T z
n
)
X
6 sup
z∈X
kzk61
E
n
(G
−1
T z)
X
=
= sup
u∈G
−1
T S(0,1)
E
n
(u)
X
≡ eε
0
n
, S(0, 1) =
©
x ∈ X : kxk
X
6 1
ª
. (6.10)
G
−1
T S(0, 1)
X, eε
0
n
→ 0 n → ∞
ε
n
≡ kA − A
n
k
X
n
→X
6 kE − G
−1
n
P
n
Gk
X→X
eε
n
6
6
¡
1 + kG
−1
n
P
n
Gk
X→X
¢
eε
0
n
= O(eε
0
n
) → 0, n → ∞. (6.11)
          An xn ≡ xn + G−1           −1            −1
                        n Pn T xn = Gn Pn y (xn , Gn Pn y ∈ Xn ).                  (6.7)
Ïîêàæåì áëèçîñòü óðàâíåíèé (6.6) è (6.7) â ñìûñëå òåîðåìû 4.1.
    Ïðèìåíÿÿ ê âñïîìîãàòåëüíûì óðàâíåíèÿì

  Gx = y (x ∈ X, y ∈ Y );                Gn xn = Pn Gxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn )

òåîðåìó 3.2, â ñèëó óñëîâèé à) è ã) íàõîäèì

δn ≡ kx0 − x0n kX = kG−1 y − G−1                −1       −1
                              n Pn ykX = k(E − Gn Pn G)(G y − x
                                                              en )kX 6

                      6 kE − G−1                   −1
                               n Pn GkX→X · En (G y)X 6
                 ¡                                  ¢
                6 1 + kG−1 k
                         n Yn →Xn kP  k
                                     n Y →Yn kGk          −1
                                                 X→Y En (G y)X =
                            ©            ª
                       = O En (G−1 y)X → 0, n → ∞,                                 (6.8)
ãäå x
    en ∈ Xn ⊂ X åñòü ýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ýëåìåíòà
x0 = G−1 y ∈ X â ïðîñòðàíñòâå X .
      Äëÿ ëþáîãî xn ∈ Xn , xn 6= 0 , èç (6.6)(6.8) íàõîäèì

                    kAxn − An xn kX = kG−1 T xn − G−1
                                                   n Pn T xn kX =

                             = kxn kX kG−1 T zn − G−1
                                                   n P n T z n kX 6

                    6 kxn kX kE − G−1                 −1
                                   n Pn GkX→X · En (G T zn )X 6
                             ¡                 ¢            xn
                    6 kxn kX 1 + kG−1
                                    n P n GkX→X εen , zn =       ,                 (6.9)
                                                           kxn k
ãäå
                    εen = sup En (G−1 T zn )X 6 sup En (G−1 T z)X =
                            zn ∈Xn                    z∈X
                            kzn k61                  kzk61
                                                        ©                ª
      =       sup          En (u)X ≡ εe 0n ,   S(0, 1) = x ∈ X : kxkX 6 1 .      (6.10)
          u∈G−1 T S(0,1)

 ñèëó óñëîâèé à) è â) ìíîæåñòâî G−1 T S(0, 1) ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì â
ïðîñòðàíñòâå X, ïîýòîìó εe 0n → 0 ïðè n → ∞ . Îòñþäà è èç ñîîòíîøåíèé
(6.8)(6.10) ñëåäóåò, ÷òî

                  εn ≡ kA − An kXn →X 6 kE − G−1
                                               n Pn GkX→X ε  en 6
                    ¡                  ¢ 0
                  6 1 + kG−1
                           n P n Gk X→X ε      ε 0n ) → 0, n → ∞.
                                        en = O(e                                 (6.11)
       Òåïåðü â ñèëó óñëîâèÿ à) è ñîîòíîøåíèé (6.8), (6.11) ê óðàâíåíèÿì
(6.6), (6.7) ïðèìåíèìà òåîðåìà 4.1, îòêóäà ñëåäóþò òàêèå óòâåðæäåíèÿ:

Страницы