Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
§§
X Y
X
n
⊂ X Y
n
⊂ Y
P
n
= P
2
n
, Y Y
n
.
Kx ≡ Gx + T x = y (x ∈ X, y ∈ Y ), (6.1)
K
n
x
n
≡ Gx
n
+ P
n
T x
n
= y
n
(x
n
∈ X
n
, y
n
∈ Y
n
), (6.2)
G, T P
n
T
X Y X
n
Y
n
. G(X) = Y, G(X
n
) = Y
n
.
K : X −→ Y dim X
n
=
= dim Y
n
< ∞,
α
n
= ||K
−1
|| ||T − P
n
T || < 1, T − P
n
T : X
n
→ Y, (6.3)
K
n
: X
n
→ Y
n
||x
∗
− x
∗
n
|| 6 ||K
−1
||(1 − α
n
)
−1
{||y − y
n
|| + α
n
||y||},
x
∗
= K
−1
y, x
∗
n
= K
−1
n
y
n
, ||K
−1
n
|| 6 ||K
−1
||(1 − α
n
)
−1
; (6.4)
(6.1) x
∗
∈ X
y ∈ Y, G K
n
y
n
= P
n
y
||x
∗
− x
∗
n
|| = ||(E − K
−1
n
P
n
T )(x
∗
− G
−1
P
n
Gx
∗
)|| 6
6 ||E − K
−1
n
P
n
T ||
X→X
||G
−1
||
Y →X
||Gx
∗
− P
n
Gx
∗
||
Y
; (6.4
0
)
                      § 6. Íåêîòîðûå äîïîëíåíèÿ

      6.1.  ñëó÷àå óðàâíåíèé II-ãî ðîäà è ïðèâîäÿùèõñÿ ê íèì óðàâíåíèé
ðåçóëüòàòû §§ 25 çíà÷èòåëüíî óïðîùàþòñÿ è óñèëèâàþòñÿ.  ÷àñòíîñòè,
èç òåîðåì 2.2, 3.2, 4.2 è èõ ñëåäñòâèé ëåãêî âûâîäÿòñÿ (ñì., íàïð., ðàáîòó
àâòîðà [14]) îñíîâíûå òåîðåìû òåîðèè Êàíòîðîâè÷à [45][49]. Îñòàíîâèìñÿ
çäåñü ëèøü íà íåêîòîðûõ, íóæíûõ íàì íèæå, ðåçóëüòàòàõ, êîòîðûå ëåãêî
âûâîäÿòñÿ èç òåîðåì 2.1, 3.1, 3.2 è èõ ñëåäñòâèé.

      Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü X è Y  ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðî-
ñòðàíñòâà, à Xn ⊂ X è Yn ⊂ Y  èõ êîíå÷íîìåðíûå ïîäïðîñòðàí-
ñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îïåðàòîð
Pn = Pn2 , îòîáðàæàþùèé Y â Yn . Ðàññìîòðèì îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ
âèäà
                  Kx ≡ Gx + T x = y (x ∈ X, y ∈ Y ),         (6.1)
            Kn xn ≡ Gxn + Pn T xn = yn          (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn ),       (6.2)
ãäå G, T è Pn T  ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû ñîîòâåòñòâåííî
èç X â Y è èç Xn â Yn . Ïóñòü G(X) = Y, G(Xn ) = Yn .
     Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
     à) åñëè îïåðàòîð K : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèì, à dim Xn =
= dim Yn < ∞, òî ïðè

           αn = ||K −1 || ||T − Pn T || < 1,     T − Pn T : Xn → Y,         (6.3)

îïåðàòîð Kn : Xn → Yn òàêæå íåïðåðûâíî îáðàòèì è

           ||x∗ − x∗n || 6 ||K −1 ||(1 − αn )−1 {||y − yn || + αn ||y||},

ãäå

      x∗ = K −1 y,   x∗n = Kn−1 yn ,   ||Kn−1 || 6 ||K −1 ||(1 − αn )−1 ;   (6.4)

     á) åñëè óðàâíåíèå (6.1) èìååò ðåøåíèå x∗ ∈ X ïðè ïðàâîé ÷àñòè
y ∈ Y, îïåðàòîð G ëèíåéíî îáðàòèì è îïåðàòîðû Kn ëèíåéíî îáðàòèìû
(íàïðèìåð, â óñëîâèÿõ ïóíêòà à)), òî ïðè yn = Pn y ñïðàâåäëèâà îöåíêà

            ||x∗ − x∗n || = ||(E − Kn−1 Pn T )(x∗ − G−1 Pn Gx∗ )|| 6

           6 ||E − Kn−1 Pn T ||X→X ||G−1 ||Y →X ||Gx∗ − Pn Gx∗ ||Y ;        (6.40 )

Страницы