Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
n
(4.2)
(4.1) (4.2).
η =
= η(K) (4.1).
4.1, 4.2, 4.4 n
η
n
= η(K
n
) (4.2),
η
n
6 c η (1 6 c = 6 1 + ε, ε > 0, n > n
0
(ε)), (5.7)
lim
n→∞
η
n
= η. (5.8)
4.1
4.2 4.4
4.1 n p
n
= ||K
−1
||·
·||K − K
n
||
X
n
→Y
< 1, ||K
−1
n
|| 6 ||K
−1
||(1 − p
n
)
−1
.
n η
n
= η(K
n
) =
||K
n
|| ||K
−1
n
|| K
n
, n > n
0
||K
n
||
X
n
→Y
n
6 ||K
n
||
X
n
→Y
6 ||K
n
− K||
X
n
→Y
+ ||K||
X
n
→Y
6
6 [p
n
+ η(K)]||K
−1
||
−1
,
η(K
n
) = ||K
n
|| ||K
−1
n
|| 6 [p
n
+ η(K)](1 − p
n
)
−1
,
η(K
n
) − η(K) 6 p
n
(1 + η(K))(1 − p
n
)
−1
.
4.1.
(4.1)
(4.2)
(â ñëó÷àå åãî ñóùåñòâîâàíèÿ) äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïåðàòîðà Kn (ïðè-
áëèæåííîãî óðàâíåíèÿ (4.2) ). Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èññëåäîâàòü
ñâÿçü ìåæäó ÷èñëàìè îáóñëîâëåííîñòè òî÷íîãî è ïðèáëèæåííîãî óðàâíå-
íèé (4.1) è (4.2).
     Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ

     Òåîðåìà 5.3. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè η =
= η(K) äëÿ òî÷íîãî óðàâíåíèÿ (4.1). Òîãäà â óñëîâèÿõ ëþáîé èç òåîðåì
4.1, 4.2, 4.4 õîòÿ áû ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ñóùåñòâóþò òàêæå
÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ηn = η(Kn ) äëÿ ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ (4.2),
ïðè÷åì

           ηn 6 c η   (1 6 c = const 6 1 + ε, ε > 0, n > n0 (ε)),      (5.7)

                                  lim ηn = η.                          (5.8)
                                 n→∞
       Äîêàçàòåëüñòâî ðàññìîòðèì ëèøü â óñëîâèÿõ òåîðåìû 4.1 (â óñëî-
âèÿõ òåîðåìû 4.2 èëè 4.4 ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ àíàëîãè÷íî).
       Â ñèëó òåîðåìû 4.1 ïðè âñåõ n òàêèõ, ÷òî pn = ||K −1 ||·
·||K − Kn ||Xn →Y < 1, èìååì ||Kn−1 || 6 ||K −1 ||(1 − pn )−1 . Îòñþäà ÿñíî,
÷òî äëÿ òàêèõ n ñóùåñòâóþò ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ηn = η(Kn ) =
||Kn || ||Kn−1 || îïåðàòîðà Kn , îãðàíè÷åííûå (ïðè n > n0 ) â ñîâîêóïíî-
ñòè. Òàê êàê ||Kn ||Xn →Yn 6 ||Kn ||Xn →Y 6 ||Kn − K||Xn →Y + ||K||Xn →Y 6
6 [pn + η(K)]||K −1 ||−1 , òî ñïðàâåäëèâû îöåíêè

              η(Kn ) = ||Kn || ||Kn−1 || 6 [pn + η(K)](1 − pn )−1 ,

                 η(Kn ) − η(K) 6 pn (1 + η(K))(1 − pn )−1 .
Îñòàëüíîå ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.1.
      Òàêèì îáðàçîì, åñëè òî÷íîå óðàâíåíèå (4.1) õîðîøî îáóñëîâëåíî, òî
â óñëîâèÿõ ëþáîé èç òåîðåì 4.1, 4.2 è 4.4 õîðîøî îáóñëîâëåííûì ÿâëÿåòñÿ
òàêæå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå (4.2). À ýòî â ñâîþ î÷åðåäü ïðèâîäèò ê òî-
ìó, ÷òî ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ïðèáëèæåííîìó óðàâíåíèþ (4.2) ýêâè-
âàëåíòíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé â îïðåäåëåííîì
ñìûñëå áóäåò óñòîé÷èâûì îòíîñèòåëüíî íåòî÷íîñòè çàäàíèÿ ýëåìåíòîâ
ýòîé ñèñòåìû.

Страницы