Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(5.1) n
ex
∗
n
= L
−1
n
z
n
, z
n
∈ Y
n
(5.3), (5.4)
4.3.
K
n
(n > n
0
)
(4.2) (5.1)
η
n
≡ ||K
n
− L
n
|| → 0, θ
n
≡ ||y
n
− z
n
|| → 0, n → ∞, (5.2
00
)
n,
||E − K
−1
n
L
n
|| = ||E − L
n
K
−1
n
|| 6 ||K
−1
n
k kK
n
− L
n
|| 6 q
n
6 q
0
< 1,
L
−1
n
− K
−1
n
=
∞
X
j=1
(E − K
−1
n
L
n
)
j
K
−1
n
=
∞
X
j=1
K
−1
n
(E − L
n
K
−1
n
)
j
.
n → ∞
||x
∗
n
− ex
∗
n
|| = ||K
−1
n
y
n
− L
−1
n
z
n
|| = O{||K
n
− L
n
|| + ||y
n
− z
n
||} → 0.
4.1 n → ∞
||K − L
n
||
X
n
→Y
6 ε
(n)
+ η
n
, ||y − z
n
|| 6 δ
(n)
+ θ
n
→ 0.
n (ε
(n)
+ η
n
)||K
−1
|| < 1,
4.1, K L
n
,
n → ∞
||x
∗
n
− ex
∗
n
|| = O{||y − z
n
|| + ||K − L
n
||} = O{(ε
(n)
+ η
n
) + (δ
(n)
+ θ
n
)} → 0.
óðàâíåíèå (5.1) èìååò (õîòÿ áû ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ) åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå xe∗n = L−1
                n zn ,  zn ∈ Yn . Òîãäà ñïðàâåäëèâîñòü (5.3), (5.4) ëåãêî
óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 4.3.
      Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñëè îïåðàòîðû Kn (n > n0 ) ëèíåéíî îáðàòè-
ìû è îáðàòíûå îïåðàòîðû îãðàíè÷åíû ïî íîðìå â ñîâîêóïíîñòè (íàïðè-
ìåð, â óñëîâèÿõ ëþáîé èç òåîðåì 4.1, 4.2, 4.4), à óðàâíåíèÿ (4.2) è (5.1)
áëèçêè â òîì ñìûñëå, ÷òî

        ηn ≡ ||Kn − Ln || → 0,              θn ≡ ||yn − zn || → 0,         n → ∞,              (5.200 )

òî óñòîé÷èâîñòü ïðÿìûõ ìåòîäîâ äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîñòåéøèõ
ñðåäñòâ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.
     Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n, íàïðèìåð,
ïðè

    ||E − Kn−1 Ln || = ||E − Ln Kn−1 || 6 ||Kn−1 k kKn − Ln || 6 qn 6 q0 < 1,

èìååì
                             ∞
                             X                                  ∞
                                                                X
        L−1
         n    −   Kn−1   =         (E −   Kn−1 Ln )j Kn−1   =         Kn−1 (E − Ln Kn−1 )j .
                             j=1                                j=1

Òîãäà ïðè n → ∞

    ||x∗n − x
            e∗n || = ||Kn−1 yn − L−1
                                  n zn || = O{||Kn − Ln || + ||yn − zn ||} → 0.

      Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 4.1 èìååì ïðè n → ∞

          ||K − Ln ||Xn →Y 6 ε(n) + ηn ,             ||y − zn || 6 δ (n) + θn → 0.

Ïîýòîìó ïðè n òàêèõ, ÷òî (ε(n) + ηn )||K −1 || < 1, ìû íàõîäèìñÿ â óñëî-
âèÿõ ïðèìåíèìîñòè òåîðåìû 4.1, íî óæå ê îïåðàòîðàì K è Ln , ñîãëàñíî
êîòîðîé ïðè n → ∞

||x∗n − x
        e∗n || = O{||y − zn || + ||K − Ln ||} = O{(ε(n) + ηn ) + (δ (n) + θn )} → 0.

      5.2. Äàëåå, â ðÿäå ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêîâ (ñì., íàïð., [6], [54])
îïðåäåëåíî ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû è èññëåäîâàíà åãî ðîëü ïðè
ðåøåíèè (â òîì ÷èñëå ïðè ðàññìîòðåíèè óñòîé÷èâîñòè) ñèñòåì ëèíåéíûõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè
â [6], [54], ñ ïîìîùüþ òåîðåì 4.1, 4.2, 4.4 ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ òàêæå íà

Страницы