Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(5.3) (5.4),
(4.7) (5.5).
5.1
5.1
X
n
Y
n
K
n
n > n
0
K
−1
n
(4.2) (5.1)
||K
n
x
n
− L
n
x
n
|| → 0 (x
n
∈ X
n
, ||x
n
|| = 1), ||y
n
− z
n
|| → 0, n → ∞,
(5.2
0
)
n ∈ N (5.1)
x
∗
n
ex
∗
n
(4.2) (5.1)
x
∗
n
− ex
∗
n
→ 0, n → ∞, (5.3
0
)
β
n
||K
n
||
−1
6 ||x
∗
n
− ex
∗
n
|| 6 β
n
||K
−1
n
||, (5.4
0
)
β
n
= ||(y
n
− z
n
) + (L
n
− K
n
) ex
∗
n
||.
K
n
L
n
X
n
. R(L
n
) = Z
n
. Z
n
⊂ Y
n
= R(K
n
)
ε > 0
f
n
∈ Y
n
. x
n
∈ X
n
K
n
x
n
= f
n
. g
n
≡ L
n
x
n
.
(5.2) n = n
0
,
||f
n
− g
n
|| = ||K
n
x
n
− L
n
x
n
|| < ε n > n
0
.
Z
n
Y
n
Z
n
= R(L
n
) = Y
n
. 2.1
Îòñþäà è èç ñêàçàííîãî âûøå ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ (5.3) è îöåíêó (5.4),
îòêóäà è èç (4.7) ñëåäóåò îöåíêà (5.5).
       Òåîðåìà 5.1 äîêàçàíà. Îòìåòèì, ÷òî ýòà ïðîñòàÿ òåîðåìà èãðà-
åò âàæíóþ ðîëü ïðè îáîñíîâàíèè ìåòîäà ìåõàíè÷åñêèõ êâàäðàòóð ðå-
øåíèÿ ïîëíûõ ñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ñì., íàïð., [10],
[13], [17], [18]).
       Òåîðåìó 5.1 íåñêîëüêî äîïîëíÿåò ñëåäóþùàÿ

      Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü Xn è Yn  êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà îäè-
íàêîâîé ðàçìåðíîñòè, à îïåðàòîðû Kn (õîòÿ áû ïðè äîñòàòî÷íî áîëü-
øèõ n > n0 ) ëèíåéíî îáðàòèìû è îáðàòíûå îïåðàòîðû Kn−1 îãðàíè÷åíû
ïî íîðìå â ñîâîêóïíîñòè. Åñëè óðàâíåíèÿ (4.2) è (5.1) áëèçêè â òîì
ñìûñëå, ÷òî

||Kn xn − Ln xn || → 0 (xn ∈ Xn , ||xn || = 1),       ||yn − zn || → 0,
                                                             n → ∞,
                                                                (5.20 )
òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ∈ N óðàâíåíèÿ (5.1) îäíîçíà÷íî ðàçðå-
øèìû è ðåøåíèÿ x∗n è x
                     e∗n óðàâíåíèé (4.2) è (5.1) áëèçêè â òîì ñìûñëå,
÷òî
                       x∗n − x
                             e∗n → 0, n → ∞,                    (5.30 )
ïðè÷åì ñïðàâåäëèâà äâóñòîðîííÿÿ îöåíêà

                   βn ||Kn ||−1 6 ||x∗n − x
                                          e∗n || 6 βn ||Kn−1 ||,          (5.40 )

ãäå
                                                   e∗n ||.
                    βn = ||(yn − zn ) + (Ln − Kn ) x
      Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ðàññìîòðèì Kn è Ln
êàê ëèíåéíûå îïåðàòîðû, îïðåäåëåííûå íà åäèíè÷íîé ñôåðå ïðîñòðàíñòâà
Xn . Ïîëîæèì R(Ln ) = Zn . Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî Zn ⊂ Yn = R(Kn )
è çàìêíóòî êàê êîíå÷íîìåðíîå ìíîæåñòâî.
      Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ε > 0 è ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé
ýëåìåíò fn ∈ Yn . ßñíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò xn ∈ Xn
òàêîé, ÷òî Kn xn = fn . Ïîëîæèì gn ≡ Ln xn . Òîãäà â ñèëó ïåðâîãî èç ñîîò-
íîøåíèé (5.2) íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð n = n0 , ÷òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
||fn − gn || = ||Kn xn − Ln xn || < ε ïðè n > n0 .
      Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî Zn ïëîòíî â Yn è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååì
Zn = R(Ln ) = Yn . Îòñþäà è èç ëåììû 2.1 ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîðíîå

Страницы