Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
2
n
= P
n
kP
n
k > 1.
x ∈ X x
n
∈ X
n
kx − x
n
k → 0, n → ∞. (4.17)
{ϕ
k
}
∞
k=1
X,
X
n
n
{ϕ
k
}.
K
x ∈ X x
n
∈ X
n
kKx − Kx
n
k → 0, n → ∞. (4.18)
K
K
kKx − Kx
n
k > kK
−1
k
−1
kx − x
n
k.
P
n
K {ϕ
k
}. P
n
P
n
K K
§
L
n
x
n
= z
n
(x
n
∈ X
n
, z
n
∈ Y
n
), (5.1)
L
n
X
n
Y
n
, y
n
z
n
(5.1) (4.1),
(4.2)
(5.1).
     ßñíî, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ Pn2 = Pn èìååì kPn k > 1. Òîãäà èç (4.16)
ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñóùåñòâóåò ýëåìåíò xn ∈ Xn òàêîé, ÷òî

                       kx − xn k → 0,   n → ∞.                   (4.17)

     Ïóñòü {ϕk }∞
                k=1  ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ èç X,
à Xn  ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå, íàòÿíóòîå íà ïåðâûå n ýëåìåíòîâ ýòîé
ñèñòåìû. Òîãäà ñîîòíîøåíèå (4.17) ýêâèâàëåíòíî ïîëíîòå ñèñòåìû {ϕk }.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ââîäèòñÿ òàêæå K - ïîëíîòà [63], ñîãëàñíî êîòîðîé
äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñóùåñòâóåò ýëåìåíò xn ∈ Xn òàêîé, ÷òî

                     kKx − Kxn k → 0,     n → ∞.                 (4.18)

Èçâåñòíî [62], [63], ÷òî â ñèëó íåïðåðûâíîñòè K èç îáû÷íîé ïîëíîòû ñëå-
äóåò K -ïîëíîòà. Â íàøèõ óñëîâèÿõ (ò. å. â óñëîâèÿõ òåîðåìû 4.4) ñïðà-
âåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, ÷òî ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ

                   kKx − Kxn k > kK −1 k−1 kx − xn k.

      Â ñâÿçè ñî ñêàçàííûì âûøå ñîîòíîøåíèå (4.13) åñòåñòâåííî íàçâàòü
óñëîâèåì Pn K -ïîëíîòû ñèñòåìû {ϕk }. ßñíî, ÷òî åñëè îïåðàòîðû Pn îãðà-
íè÷åíû ïî íîðìå â ñîâîêóïíîñòè, òî Pn K -ïîëíîòà ñëåäóåò èç K -ïîëíîòû,
à ïîòîìó è èç îáû÷íîé ïîëíîòû; îäíàêî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, êàê ïðà-
âèëî, íå âåðíî.


   § 5. Îá óñòîé÷èâîñòè è îáóñëîâëåííîñòè ïðÿìûõ ìåòîäîâ

     5.1. Íà ïðàêòèêå ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ (4.2) â ñèëó íåòî÷íîñòè
çàäàíèÿ åãî ýëåìåíòîâ ðåøàþòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, òîëüêî ïðèáëèæåííî.
Íàïðèìåð, óðàâíåíèå (4.2) çàìåíÿåòñÿ óðàâíåíèåì âèäà

                    Ln xn = zn (xn ∈ Xn , zn ∈ Yn ),              (5.1)

ãäå Ln  ëèíåéíûé îïåðàòîð èç Xn â Yn , ïðè÷åì yn è zn áëèçêè â îïðå-
äåëåííîì ñìûñëå.
     Âîçìîæíà òàêæå ñèòóàöèÿ íåñêîëüêî îáðàòíàÿ, à èìåííî, ïóñòü
óðàâíåíèå (5.1) ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì äëÿ òî÷íîãî óðàâíåíèÿ (4.1),
òîãäà óðàâíåíèå (4.2) ìîæíî ñ÷èòàòü ïðèáëèæåííûì â òîì ñìûñëå, ÷òî
åãî ýëåìåíòû ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ
ýëåìåíòîâ óðàâíåíèÿ (5.1).

Страницы