Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(4.2) x
∗
n
∈ X
n
y
n
∈ Y
n
,
kx
∗
n
k 6 kK
−1
n
k ky
n
k, kK
−1
n
k 6 kK
−1
k(1 − p
n
)
−1
. (4.5)
δ
(n)
≡ ky − y
n
k → 0, n → ∞,
x
∗
n
∈ X
n
x
∗
∈ X X.
kKk
−1
α
n
6 kx
∗
− x
∗
n
k 6 α
n
kK
−1
k, α
n
= k(y − y
n
) + (K
n
− K) x
∗
n
k, (4.6)
kx
∗
− x
∗
n
k 6
kK
−1
k
1 − p
n
[ ky − y
n
k + p
n
kyk ] = O(ε
(n)
+ δ
(n)
). (4.7)
K
n = 1, 2, . . . ,
ε
1
= ε
(n)
1
→ 0, ε
0
3
= ε
0 (n)
3
→ 0 n → ∞; (4.8)
dim X
n
= dim Y
n
= m = m(n) < ∞ (n = 1, 2, . . .).
n ∈ N
(4.2)
kP
n
kE
n
(x
∗
) → 0, n → ∞, P
2
n
= P
n
, (4.9)
E
n
(x
∗
) = inf{kx
∗
− x
n
k : x
n
∈ X
n
}, P
n
n y
n
= P
n
y x
∗
n
∈ X
n
x
∗
∈ X
kx
∗
− x
∗
n
k = O(ε
(n)
1
+ kP
n
kE
n
(x
∗
)). (4.10)
K
−1
n (n > n
0
) (4.2)
x
∗
= K
−1
y
n → ∞
y
n
− y → 0, (K
n
− K) x
∗
n
→ 0. (4.11)
ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå (4.2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗n ∈ Xn
ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè yn ∈ Yn , ïðè÷åì

            kx∗n k 6 kKn−1 k kyn k,   kKn−1 k 6 kK −1 k(1 − pn )−1 .        (4.5)

    Åñëè, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî óñëîâèå
    ã) δ (n) ≡ ky − yn k → 0, n → ∞,
òî ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ x∗n ∈ Xn ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ
x∗ ∈ X ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà X. Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü ïðèáëè-
æåííîãî ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü îöåíåíà ëþáûì èç íåðàâåíñòâ

 kKk−1 αn 6 kx∗ − x∗n k 6 αn kK −1 k,      αn = k(y − yn ) + (Kn − K) x∗n k, (4.6)
                  kK −1 k
      kx∗ − x∗n k 6       [ ky − yn k + pn kyk ] = O(ε(n) + δ (n) ). (4.7)
                  1 − pn
     Òåïåðü èç òåîðåìû 3.2 è ñëåäñòâèÿ 1 òåîðåìû 2.2 ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ

     Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     a) îïåðàòîð K íåïðåðûâíî îáðàòèì;
     á) âûïîëíåíû óñëîâèÿ I è III ïðè êàæäîì n = 1, 2, . . . , ïðè÷åì
                      (n)               0 (n)
              ε1 = ε1 → 0,      ε03 = ε3        → 0 ïðè n → ∞;              (4.8)

      â) dim Xn = dim Yn = m = m(n) < ∞ (n = 1, 2, . . .).
      Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ∈ N ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ
(4.2) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû.
      Åñëè, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî óñëîâèå
      ã) kPn kEn (x∗ ) → 0, n → ∞, Pn2 = Pn ,                    (4.9)
          ∗            ∗
ãäå En (x ) = inf{kx − xn k : xn ∈ Xn }, à Pn  îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð
(ïðè êàæäîì n ), òî ïðè yn = Pn y ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ x∗n ∈ Xn
ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ x∗ ∈ X ñî ñêîðîñòüþ
                                        (n)
                      kx∗ − x∗n k = O(ε1 + kPn kEn (x∗ )).                 (4.10)

     Ïîëåçíîé ìîæåò îêàçàòüñÿ òàêæå ñëåäóþùàÿ ëåãêî äîêàçûâàåìàÿ

     Òåîðåìà 4.3. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îïåðàòîð K −1 è ïðè
êàæäîì n (n > n0 ) óðàâíåíèÿ (4.2) ðàçðåøèìû. Òîãäà äëÿ ñõîäèìîñòè
ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé ê òî÷íîìó x∗ = K −1 y íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷-
íî, ÷òîáû ïðè n → ∞

                       yn − y → 0,      (Kn − K) x∗n → 0.                  (4.11)

Страницы