Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
§§
X Y
X
n
Y
n
X
n
⊆ X, Y
n
⊆ Y (n = 1, 2, . . .).
Kx = y (x ∈ X, y ∈ Y ), (4.1)
K
n
x
n
= y
n
(x
n
∈ X
n
, y
n
∈ Y
n
), (4.2)
K K
n
X Y X
n
Y
n
m
2
= m
2
(n)
= dim Y
n
m
1
= m
1
(n) = dim X
n
dim X
n
= dim Y
n
= m =
= m(n) < ∞,
m ⊗ m,
K : X −→ Y
ε
(n)
≡ kK − K
n
k
X
n
→Y
→ 0, n → ∞; (4.3)
dim X
n
= dim Y
n
= m(n) < ∞ (n = 1, 2, . . .).
n ∈ N,
p
n
= kK
−1
k kK − K
n
k < 1, K − K
n
: X
n
→ Y, (4.4)
    § 4. Ïðÿìûå ìåòîäû ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé

      Ïî îïðåäåëåíèþ Ñ.Ë. Ñîáîëåâà (ñì., íàïð., [62][64]), ïðÿìûìè ìå-
òîäàìè ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ òàêèå ïðèáëè-
æåííûå ìåòîäû, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ðåøåíèþ êîíå÷íûõ ñèñòåì ëèíåé-
íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (êðàòêî: ÑËÀÓ). Ýòèì îáóñëîâëèâàåòñÿ,
â ÷àñòíîñòè, òà îñîáàÿ ðîëü, êîòîðóþ èãðàþò ïðÿìûå ìåòîäû ñðåäè äðóãèõ
ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ.
      Â ýòîì ïàðàãðàôå ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ïî ïðÿìûì ìå-
òîäàì ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â
îñíîâíîì íà áàçå ðåçóëüòàòîâ §§ 2 è 3.
      Èòàê, ïóñòü X è Y  ïîëíûå ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàí-
ñòâà, à Xn è Yn  ïðîèçâîëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ êîíå÷íîìåðíûõ
ïîäïðîñòðàíñòâ: Xn ⊆ X, Yn ⊆ Y (n = 1, 2, . . .). Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ

                       Kx = y (x ∈ X, y ∈ Y ),                    (4.1)

                    Kn xn = yn (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn ),              (4.2)
ãäå K è Kn  ëèíåéíûå îïåðàòîðû èç X â Y è èç Xn â Yn ñîîòâåòñòâåí-
íî.
     Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (4.2) ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå èç m2 = m2 (n)
= dim Yn ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ m1 = m1 (n) = dim Xn
íåèçâåñòíûìè, ò. å. ìû èìååì çäåñü äåëî ñ ïðÿìûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ (4.1). Åñëè æå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå À, ò. å. dim Xn = dim Yn = m =
= m(n) < ∞, òî ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé m ⊗ m, ÷òî ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò ÷èñëåííóþ
ðåàëèçàöèþ ïðÿìûõ ìåòîäîâ.
     Èç òåîðåì 2.1 è 3.1 (è èõ ñëåäñòâèé) âûòåêàåò

     Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     a) îïåðàòîð K : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèì;
     á) ε(n) ≡ kK − Kn kXn →Y → 0, n → ∞;                         (4.3)
     â) dim Xn = dim Yn = m(n) < ∞ (n = 1, 2, . . .).
     Òîãäà ïðè âñåõ n ∈ N, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó

            pn = kK −1 k kK − Kn k < 1,   K − Kn : Xn → Y,        (4.4)

Страницы