Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(4.6).
K : X −→ Y, K
n
: X
n
−→ Y
n
, P
n
: Y −→ Y
n
X
n
⊂ X
n+1
, Y
n
⊂ Y
n+1
(n = 1, 2, . . .). n ∈ N
lim
n→∞
ε
1
= lim
n→∞
ε
2
kP
n
k = 0, ε
1
= ε
(n)
1
, ε
2
= ε
(n)
2
, P
2
n
= P
n
, (4.12)
x ∈ X x
n
∈ X
n
lim
n→∞
kP
n
Kx − P
n
Kx
n
k = 0. (4.13)
K
n > n
0
K
n
kK
−1
n
k 6 2kK
−1
k (n > n
0
). (4.14)
4.2
4.1 x
∗
n
= K
−1
n
y
n
(4.10)
kx
∗
− x
∗
n
k = O(ε
(n)
1
+ ε
(n)
2
kP
n
k + ky − y
n
k). (4.15)
(4
.
12) (4
.
13)
4.4 2.1
(4.14) 4.2 4.1
x ∈ X x
n
∈ X
kP
n
k kx − x
n
k → 0, n → ∞. (4.16)
Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ
ìîæåò áûòü îöåíåíà íåðàâåíñòâàìè (4.6).
     Çàìåòèì, ÷òî íàðóøåíèå óñëîâèÿ â) òåîðåì 4.1 è 4.2 ïðèâîäèò ê
íåêîòîðûì "îñëîæíåíèÿì"â äîêàçàòåëüñòâàõ. Äëÿ ïðèìåðà ïðèâåäåì ñëå-
äóþùóþ òåîðåìó.

     Òåîðåìà 4.4. Ïóñòü K : X −→ Y, Kn : Xn −→ Yn , Pn : Y −→ Yn
 ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû, ïðè÷åì Xn ⊂ Xn+1 , Yn ⊂ Yn+1
(n = 1, 2, . . .). Ïóñòü ïðè êàæäîì íàòóðàëüíîì n ∈ N âûïîëíåíû óñëî-
âèÿ I è II ñ
                                       (n)         (n)
    lim ε1 = lim ε2 kPn k = 0,   ε1 = ε1 ,   ε2 = ε2 ,   Pn2 = Pn ,   (4.12)
   n→∞       n→∞

è äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñóùåñòâóåò ýëåìåíò xn ∈ Xn òàêîé, ÷òî

                        lim kPn Kx − Pn Kxn k = 0.                    (4.13)
                       n→∞

    Åñëè îïåðàòîð K íåïðåðûâíî îáðàòèì, òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëü-
øèõ n > n0 îïåðàòîðû Kn òàêæå íåïðåðûâíî îáðàòèìû è

                      kKn−1 k 6 2kK −1 k (n > n0 ).                   (4.14)

Åñëè, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî óñëîâèå ã) òåîðåìû 4.2 èëè æå òåîðåìû
4.1 , òî ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ x∗n = Kn−1 yn ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ñî
ñêîðîñòÿìè ñîîòâåòñòâåííî (4.10) è
                                 (n)   (n)
               kx∗ − x∗n k = O(ε1 + ε2 kPn k + ky − yn k).            (4.15)

     Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó óñëîâèé (4.12) è (4.13) ïåðâàÿ ÷àñòü òåî-
ðåìû 4.4 âûâîäèòñÿ èç òåîðåìû 2.1 è åå ñëåäñòâèÿ â ñëó÷àå á), à âòîðàÿ
÷àñòü òåîðåìû â ñèëó (4.14) ñëåäóåò èç òåîðåì 4.2 è 4.1 ñîîòâåòñòâåííî.

     Çàìå÷àíèå 4.1. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå (4.13) òåîðåìû 4.4 ìîæíî
çàìåíèòü ñëåäóþùèì:
     äëÿ ëþáîãî x ∈ X ñóùåñòâóåò ýëåìåíò xn ∈ X òàêîé, ÷òî

                      kPn k kx − xn k → 0,   n → ∞.                   (4.16)

     Îäíàêî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âåðíî (íàïðèìåð,
äëÿ ìåòîäà êîëëîêàöèè ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà).

Страницы