Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(4.1).
X Y
4.1. (4.2) (5.1)
n → ∞
||y
n
− z
n
|| → 0 ||K
n
x
n
− L
n
x
n
|| → 0 (5.2)
x
n
→ x (x
n
∈ X
n
, x ∈ X),
n ∈ N (4.1) (5.1) x
∗
x
∗
n
||x
∗
n
− ex
∗
n
|| → 0, n → ∞, (5.3)
||x
∗
n
− ex
∗
n
|| 6 ||L
−1
n
||(||y
n
− z
n
|| + ||K
n
x
∗
n
− L
n
x
∗
n
||), (5.4)
||x
∗
n
− ex
∗
n
|| 6
||K
−1
||
1 − p
n
[ ||y − y
n
|| + p
n
||y|| ] + ||x
∗
n
− ex
∗
n
||, (5.5)
p
n
= ||K
−1
|| ||K − K
n
|| < 1, K − K
n
: X
n
→ Y.
K K
n
(n > n
0
)
x
∗
n
= K
−1
n
y
n
→ K
−1
y = x
∗
n → ∞.
(5.2) ||K
n
x
∗
n
− L
n
x
∗
n
|| → 0, n → ∞.
4.1 (5.2)
L
n
: X
n
→ Y
n
[7] K : X → Y. [7], [8]
L
−1
n
(n > n
1
)
n > n
2
= max(n
0
, n
1
).
(4.2) (5.1)
x
∗
n
− ex
∗
n
= L
−1
n
(L
n
− K
n
) x
∗
n
− L
−1
n
(y
n
− z
n
), x
∗
n
= K
−1
n
y
n
, ex
∗
n
= L
−1
n
z
n
.
     Ïîýòîìó âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü èññëåäîâàíèÿ íà óñòîé÷èâîñòü
ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.1). Â ñâÿçè ñ ýòèì ñëåäóåò îò-
ìåòèòü, ÷òî óñòîé÷èâîñòü ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ èññëåäîâà-
ëàñü ðÿäîì àâòîðîâ. Èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû ïî óñòîé÷èâîñòè ïðîåêöè-
îííûõ ìåòîäîâ â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ ïîëó÷åíû Ã.Ì. Âàéíèêêî è
Ñ.Ã. Ìèõëèíûì (ñì., íàïð., [7], [8], [53], [62][64]). Íèæå äðóãèì ñïîñîáîì
èññëåäóþòñÿ âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ îïåðàòîð-
íûõ óðàâíåíèé â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
     Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ

      Òåîðåìà 5.1. Ïóñòü X è Y  áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà è âûïîë-
íåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 4.1. Åñëè óðàâíåíèÿ (4.2) è (5.1) áëèçêè â òîì
ñìûñëå, ÷òî ïðè n → ∞
                  ||yn − zn || → 0 è ||Kn xn − Ln xn || → 0                           (5.2)
äëÿ ëþáûõ xn → x (xn ∈ Xn , x ∈ X), òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
n ∈ N óðàâíåíèÿ (4.1) è (5.1) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû è èõ ðåøåíèÿ x∗
è x∗n áëèçêè â òîì ñìûñëå, ÷òî
                             ||x∗n − x
                                     e∗n || → 0,     n → ∞,                           (5.3)
ñî ñêîðîñòÿìè ñîîòâåòñòâåííî
            ||x∗n − x
                    e∗n || 6 ||L−1                        ∗       ∗
                                n ||(||yn − zn || + ||Kn xn − Ln xn ||),              (5.4)
                             ||K −1 ||
                  e∗n || 6
          ||x∗n − x                                                         e∗n ||,
                                       [ ||y − yn || + pn ||y|| ] + ||x∗n − x         (5.5)
                              1 − pn
ãäå
              pn = ||K −1 || ||K − Kn || < 1, K − Kn : Xn → Y.
      Äîêàçàòåëüñòâî. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû îïåðàòîðû K è Kn (n > n0 )
íåïðåðûâíî îáðàòèìû è x∗n = Kn−1 yn → K −1 y = x∗ ïðè n → ∞. Òîãäà â
ñèëó (5.2) èìååì ||Kn x∗n − Ln x∗n || → 0, n → ∞.
      Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó òåîðåìû 4.1 è óñëîâèé (5.2) ëåãêî ïî-
êàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû Ln : Xn → Yn êîìïàêòíî àïïðîêñèìèðóþò (ïî
òåðìèíîëîãèè Âàéíèêêî [7] ) îïåðàòîð K : X → Y. Òîãäà èç [7], [8] ñëå-
äóåò ñóùåñòâîâàíèå L−1n (n > n1 ) è èõ îãðàíè÷åííîñòü â ñîâîêóïíîñòè.
      Òåïåðü âîçüìåì n > n2 = max(n0 , n1 ). Òîãäà äëÿ ðåøåíèé óðàâíå-
íèé (4.2) è (5.1) ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
  x∗n − x
        e∗n = L−1            ∗    −1             ∗    −1
                                                             e∗n = L−1
               n (Ln − Kn ) xn − Ln (yn − zn ), xn = Kn yn , x      n zn .

Страницы