Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K = G + T,
e
K = G +
e
T , ey = P y, P
2
=
= P, G, T
e
T X Y
e
X
e
Y G(X) = Y, G(
e
X) =
e
Y
G
−1
: Y −→ X, G
−1
:
e
Y −→
e
X. 3.2
kx
∗
−
e
x
∗
k = k(E −
e
K
−1
P T )(x
∗
− G
−1
P Gx
∗
)+
+
e
K
−1
(
e
T − P T ) G
−1
P G x
∗
k. (3.10)
y = Kx
∗
e
Kex
∗
= P y
e
Kex
∗
= P Kx
∗
ex
∗
=
e
K
−1
P Kx
∗
ex ∈
e
X
x
∗
− ex
∗
= (E −
e
K
−1
P K)x
∗
= (E −
e
K
−1
P K)(x
∗
− ex)+
+(E −
e
K
−1
P K)ex = (E −
e
K
−1
P K)(x
∗
− ex) +
e
K
−1
(
e
Kex
∗
− P Kex), (3.11)
x
∗
−ex
∗
= (E−λ
e
K
−1
P H)(x
∗
−ex)+λ
e
K
−1
(
e
Hex −PHex)−
e
K
−1
P (x
∗
−ex). (3.12)
ex ∈
e
X
e
K
−1
P (x
∗
− ex) = 0
P
2
= P ex = P x
∗
ex = P x
∗
ex =
= G
−1
P Gx
∗
e
Kex − P Kex =
e
T ex − P T ex
x
∗
− ex
∗
= (E −
e
K
−1
P K)(x
∗
−G
−1
P Gx
∗
)+
e
K
−1
(
e
T −P T )G
−1
P Gx
∗
. (3.13)
P G(x
∗
− G
−1
P Gx
∗
) = 0,
                                    e = G + Te, ye = P y, P 2 =
      Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü K = G + T, K
= P, ãäå G, T è Te  ëèíåéíûå îïåðàòîðû ñîîòâåòñòâåííî èç X â Y
è èç Xe â Ye . Ïóñòü G(X) = Y, G(X)e = Ye è ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé
îáðàòíûé G−1 : Y −→ X, G−1 : Ye −→ X.
                                    e Òîãäà â óñëîâèÿõ òåîðåìû 3.2
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

                                   e −1 P T )(x∗ − G−1 P Gx∗ )+
               kx∗ − xe∗ k = k(E − K
                         e −1 (Te − P T ) G−1 P G x∗ k.
                        +K                                              (3.10)
                                        e x∗ = P y , òî K
      Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê y = Kx∗ è Ke              exe∗ = P Kx∗
  e∗ = K
è x     e −1 P Kx∗ . Òîãäà äëÿ ëþáîãî x   e ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì
                                      e ∈ X
òîæäåñòâà

          x∗ − x         e −1 P K)x∗ = (E − K
               e∗ = (E − K                  e −1 P K)(x∗ − x
                                                           e)+
       e −1 P K)e
 +(E − K                 e −1 P K)(x∗ − x
                x = (E − K                   e −1 (Ke
                                        e) + K     e x∗ − P K x
                                                              e), (3.11)
îòêóäà ñëåäóåò îöåíêà (3.8)
     Â óñëîâèÿõ ñëåäñòâèÿ 1 òîæäåñòâî (3.11) ïðèíèìàåò âèä

 x∗ −e        e −1 P H)(x∗ −e
     x∗ = (E−λK                 e −1 (H
                            x)+λK     exe−P H x  e −1 P (x∗ −e
                                              e)−K           x). (3.12)

Âûáåðåì ýëåìåíò x e∈X   e òàê, ÷òîáû K  e −1 P (x∗ − x
                                                     e) = 0 . ßñíî, ÷òî â ñèëó
P 2 = P ýòî áóäåò òàê ïðè x    e = P x∗ . Íî òîãäà èç (3.12) ïðè x   e = P x∗
ñëåäóåò îöåíêà (3.9), ò. å. ñëåäñòâèå 1 äîêàçàíî.
     Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäñòâèÿ 2 â òîæäåñòâå (3.11) ïîëîæèì x           e =
= G−1 P Gx∗ . Òîãäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà Ke  e x − P Kx e = Texe− PTx e èç (3.11)
íàõîäèì

 x∗ − x         e −1 P K)(x∗ − G−1 P Gx∗ ) + K
      e∗ = (E − K                            e −1 (Te − P T )G−1 P Gx∗ . (3.13)

Ïîñêîëüêó P G(x∗ − G−1 P Gx∗ ) = 0, òî èç (3.13) ñëåäóåò îöåíêà (3.10).
      Îòìåòèì, ÷òî èç òåîðåìû 3.2 ñëåäóþò ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû
[45][49], ïîëó÷åííûå äëÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ áîëåå ñëîæíûì ñïîñîáîì, ÷åì
çäåñü.

Страницы