Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0
e
K
2.1 − 2.4
P. (1.1)
x
∗
y ∈ Y,
ky − Kex
∗
k 6 rkeyk + ky − eyk, (3.5
0
)
ex
∗
(1.2) ey ∈
e
Y ,
r = (ε
1
+ 2ε
2
kP k)k
e
K
−1
k. (3.6)
K
−1
,
(1.1) (1.2)
kx
∗
− ex
∗
k 6 kK
−1
k(rkeyk + key − yk). (3.7)
(1.1) x
∗
∈ X
y ∈ Y
e
K
ex
∗
ey = P y
kx
∗
− ex
∗
k = kE −
e
K
−1
P K)(x
∗
− ex) +
e
K
−1
(
e
Kex − P Kex)k, (3.8)
ex ∈
e
X
(3.8).
K = E + λH,
e
K = E + λ
e
H, H
e
H
X = Y
e
X =
e
Y , λ
e
H − P H
e
X, P H X −
e
X
e
X, P
2
= P,
3.2
kx
∗
− ex
∗
k = k(E − λ
e
K
−1
P H)(x
∗
− P x
∗
) + λ
e
K
−1
(
e
H − P H)P x
∗
k 6
6 (1 + |λ|k
e
K
−1
P Hk)kx
∗
− P x
∗
k + |λ|k
e
K
−1
k k(
e
H − P H)P x
∗
k. (3.9)
îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ñëåäñòâèÿ â ñëó÷àå à). Îòñþäà è èç çàìå-
÷àíèÿ 2.2 ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ñëåäñòâèÿ è â ñëó÷àå á).
     Òåîðåìà 3.1 ïðè íåñêîëüêî áîëåå æåñòêèõ óñëîâèÿõ äîïóñêàåò (ñ ó÷å-
òîì çàìå÷àíèÿ 2.2) ôîðìóëèðîâêó, êîòîðàÿ áîëåå óäîáíà äëÿ ïðèëîæåíèé.

                                    e èìååò ëèíåéíûé îáðàòíûé (íà-
     Òåîðåìà 3.1 0 . Ïóñòü îïåðàòîð K
ïðèìåð, â óñëîâèÿõ ñëåäñòâèÿ ëþáîé èç òåîðåì 2.1 − 2.4 ) è âûïîëíåíû
óñëîâèÿ I è II ñ îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì P. Åñëè óðàâíåíèå (1.1) èìå-
åò ðåøåíèå x∗ ïðè äàííîé ïðàâîé ÷àñòè y ∈ Y, òî äëÿ íåâÿçêè ñïðàâåä-
ëèâà îöåíêà
                             x∗ k 6 rke
                       ky − Ke        y k + ky − yek,           (3.50 )
    e∗  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.2) ïðè ïðàâîé ÷àñòè ye ∈ Ye , à
ãäå x

                                            e −1 k.
                        r = (ε1 + 2ε2 kP k)kK                         (3.6)

Åñëè æå ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíûé îïåðàòîð K −1 , òî äëÿ ðåøåíèé óðàâ-
íåíèé (1.1) è (1.2) ñïðàâåäëèâà îöåíêà

                  kx∗ − x
                        e∗ k 6 kK −1 k(rke
                                         y k + ke
                                                y − yk).              (3.7)


     Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü óðàâíåíèå (1.1) èìååò ðåøåíèå x∗ ∈ X ïðè
                                     e èìååò ëèíåéíûé îáðàòíûé.
äàííîé ïðàâîé ÷àñòè y ∈ Y è îïåðàòîð K
                                                   e∗ äëÿ ïðàâîé
Òîãäà àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ x
÷àñòè ye = P y ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

     kx∗ − x           e −1 P K)(x∗ − x
           e∗ k = kE − K                   e −1 (K
                                      e) + K     exe − P Kx
                                                          e)k,        (3.8)

ãäå x
    e ∈ Xe  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò, êîòîðûé ìîæåò áûòü âûáðàí
èñõîäÿ èç ìèíèìàëüíîñòè ïðàâîé ÷àñòè (3.8).
                                    e = E + λH,
     Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü K = E + λH, K        e ãäå H è H
                                                       e 
ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû â íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñî-
îòâåòñòâåííî X = Y è X  e = Ye , à λ  ïàðàìåòð. Åñëè He − P H íåïðå-
        e P H  íåïðåðûâåí èç X − X
ðûâåí â X,                            e â X,
                                           e à P 2 = P, òî â óñëîâèÿõ
òåîðåìû 3.2 ñïðàâåäëèâà îöåíêà

   kx∗ − x             e −1 P H)(x∗ − P x∗ ) + λK
         e∗ k = k(E − λK                        e −1 (H
                                                      e − P H)P x∗ k 6

              e −1 P Hk)kx∗ − P x∗ k + |λ|kK
   6 (1 + |λ|kK                            e −1 k k(H
                                                    e − P H)P x∗ k.   (3.9)

Страницы