Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

δkKk
−1
6 kx
∗
− ex
∗
k 6 δkK
−1
k, (3.1)
δ = ky − ey + (
e
K − K) ex
∗
k.
p = kK
−1
k kK −
e
Kk < 1, K −
e
K :
e
X → Y, (3.2)
2.1
kx
∗
− ex
∗
k 6 {ky − eyk + pkyk}kK
−1
k(1 − p)
−1
. (3.3)
p
0
= kK
−1
k(ε
1
+ ε
2
kE − P k
Y
0
→Y
) < 1, (3.2
0
)
2.1 (3.3)
p p
0
, Y
0
= {y
0
} Y,
y
0
= Kex − ey (ex ∈
e
X, ey ∈
e
Y ).
y ∈ Y ey ∈
e
Y ,
y − Kex
∗
= K(x
∗
− ex
∗
) = y − ey + (
e
K − K) ex
∗
. (3.4)
kK(x
∗
− ex
∗
) > kK
−1
k
−1
kx
∗
− ex
∗
k, kK(x
∗
− ex
∗
)k 6 kKk kx
∗
− ex
∗
k,
δ 6 ky − eyk + k
e
K − Kk kex
∗
k 6 ky − eyk + k4 Kk
e
X→Y
k
e
K
−1
k k eyk 6
6 ky −
e
yk + k4Kk
e
X→Y
kK
−1
k(1 − p)
−1
k
e
yk =
= ky − eyk + p(1 − p)
−1
keyk 6 (ky − eyk + pkyk)(1 − p)
−1
, (3.5)
ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ äâóñòîðîííÿÿ îöåíêà:

                         δkKk−1 6 kx∗ − x
                                        e∗ k 6 δkK −1 k,                  (3.1)

ãäå
                                          e − K) x
                           δ = ky − ye + (K      e ∗ k.

        Ñëåäñòâèå. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
        a) Åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

                                   e < 1,
                  p = kK −1 k kK − Kk             e :X
                                               K −K  e → Y,               (3.2)

òî â óñëîâèÿõ ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 2.1 ñïðàâåäëèâà îöåíêà

                 kx∗ − x
                       e∗ k 6 {ky − yek + pkyk}kK −1 k(1 − p)−1 .         (3.3)

        á) Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ I è II ñ

                     p0 = kK −1 k(ε1 + ε2 kE − P kY0 →Y ) < 1,           (3.20 )

òî â óñëîâèÿõ ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 2.1 ñïðàâåäëèâà îöåíêà (3.3) ñ
çàìåíîé p íà p0 , ãäå Y 0 = {y 0 }  ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç Y, ïðåäñòà-
âèìûõ â âèäå
                      y 0 = Kex − ye (e    e ye ∈ Ye ).
                                       x ∈ X,
        Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê óðàâíåíèÿ (1.1) è (1.2) ðàçðåøèìû ïðè
ëþáûõ ïðàâûõ ÷àñòÿõ ñîîòâåòñòâåííî y ∈ Y è ye ∈ Ye , òî ñïðàâåäëèâî
òîæäåñòâî

                      e∗ = K(x∗ − x
                 y − Kx                            e − K) x
                                  e∗ ) = y − ye + (K      e∗ .            (3.4)

Ïîñêîëüêó

      kK(x∗ − x
              e∗ ) > kK −1 k−1 kx∗ − x
                                     e∗ k,   kK(x∗ − x
                                                     e∗ )k 6 kKk kx∗ − x
                                                                       e∗ k,

òî èç òîæäåñòâà (3.4) ëåãêî âûâîäÿòñÿ îöåíêè (3.1). Äàëåå, â óñëîâèÿõ
ñëåäñòâèÿ ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà (2.8) ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì

                      e − Kk ke
      δ 6 ky − yek + kK       x ∗ k 6 ky − yek + k4KkX→Y
                                                     e
                                                          e −1 k ke
                                                         kK       yk 6

                  6 ky − yek + k4KkX→Y
                                   e   kK −1 k(1 − p)−1 ke
                                                         yk =
         = ky − yek + p(1 − p)−1 ke
                                  y k 6 (ky − yek + pkyk)(1 − p)−1 ,      (3.5)

Страницы