Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

e
K
e
K
−1
s
,
k
e
K
−1
s
k 6 kK
−1
s
k(1 − t
s
)
−1
(s = l r). (2.21)
K
K
−1
t = (η
1
+ η
2
)kK
−1
k < 1, (2.22)
e
K
e
K
−1
k
e
K
−1
k 6 kK
−1
k(1 − t)
−1
. (2.23)
ex ∈
e
X
kKex −
e
Kexk 6 kKex − U exk + kU ex −
e
Kexk 6 (η
1
+ η
2
)kexk,
s = l
s (s = l r).
K
−1
l
K
−1
r
. U
U = [E
y
− (K − U)K
−1
l
]K, U = K[E
x
− K
−1
r
(K − U)], (2.24)
E
y
E
x
Y X
t
1
= η
1
kK
−1
s
k 6 t < 1,
U
U
−1
s
: Y → X, kU
−1
s
k 6 kK
−1
s
k(1 − t
1
)
−1
. (2.25)
U
−1
s
:
e
Y →
e
X, kU
−1
s
k
e
Y →
e
X
6 kU
−1
s
k
Y →X
6 kK
−1
s
k(1 − t
1
)
−1
. (2.26)
t
2
= η
2
kU
−1
s
k
e
Y →
e
X
6 η
2
kK
−1
s
k(1 − t
1
)
−1
< 1.
e
K = [
e
E
y
− (U −
e
K) U
−1
l
]U,
e
K = U[
e
E
x
− U
−1
r
(U −
e
K)], (2.27)
ïðèáëèæåííûé îïåðàòîð K e èìååò òàêæå îäíîñòîðîííèé ëèíåéíûé
         e s−1 , ïðè÷åì
îáðàòíûé K

                 e s−1 k 6 kKs−1 k(1 − ts )−1
                kK                              (s = l èëè r).           (2.21)


     Ñëåäñòâèå. Åñëè îïåðàòîð K èìååò äâóñòîðîííèé ëèíåéíûé
îáðàòíûé K −1 è
                          t = (η1 + η2 )kK −1 k < 1,                     (2.22)
            e èìååò òàêæå äâóñòîðîííèé ëèíåéíûé îáðàòíûé K
òî îïåðàòîð K                                            e −1 è

                          e −1 k 6 kK −1 k(1 − t)−1 .
                         kK                                              (2.23)
                                             e
     Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî xe ∈ X

        kKe ex
          x−K ek 6 kKe
                     x − Ux
                          ek + kU x ex
                                  e−K ek 6 (η1 + η2 )ke
                                                      xk,

òî ïðè s = l äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû íåìåäëåííî ñëåäóåò èç äîêàçàòåëü-
ñòâà òåîðåìû 2.1. Îäíàêî çäåñü ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ñðàçó äëÿ ëþ-
áîãî s (s = l èëè r).
     Èòàê, ïóñòü ñóùåñòâóåò Kl−1 èëè Kr−1 . Òîãäà îïåðàòîð U ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîîòâåòñòâåííî

     U = [Ey − (K − U )Kl−1 ]K,       U = K[Ex − Kr−1 (K − U )],         (2.24)

ãäå Ey è Ex  åäèíè÷íûå îïåðàòîðû â Y è X ñîîòâåòñòâåííî.
     Ïîñêîëüêó t1 = η1 kKs−1 k 6 t < 1, òî èç ñîîòíîøåíèé (2.24) íåòðóäíî
âèäåòü, ÷òî îïåðàòîð U èìååò îáðàòíûé

               Us−1 : Y → X,      kUs−1 k 6 kKs−1 k(1 − t1 )−1 .         (2.25)

Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó (2.19) ñóùåñòâóåò òàêæå

   Us−1 : Ye → X,
               e    kUs−1 kYe →Xe 6 kUs−1 kY →X 6 kKs−1 k(1 − t1 )−1 .   (2.26)

Áëàãîäàðÿ (2.20) è (2.26) èìååì

               t2 = η2 kUs−1 kYe →Xe 6 η2 kKs−1 k(1 − t1 )−1 < 1.

Ïîýòîìó ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé

     e = [E
     K    ey − (U − K)
                    e U −1 ]U,        e = U [E
                                      K      ex − U −1 (U − K)],
                                                            e            (2.27)
                       l                           r

Страницы