Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
0
Kx = ey,
ey ∈
e
Y . ey ∈
e
Y kx
0
k 6 kK
−1
r
k keyk.
ex
0
∈
e
X ey ∈
e
Y
k ex
0
k 6 kx
0
− ex
0
k + kx
0
k 6 2kK
−1
r
k keyk. (2.16)
ey ∈
e
Y
k
e
K ex
0
− eyk 6 k
e
K ex
0
− P K ex
0
k + kP K ex
0
− P Kx
0
k 6
6 ε
1
k ex
0
k + ε
0
3
kx
0
k 6 qkeyk. (2.17)
ex
∗
ey ∈
e
Y ,
kex
∗
k 6 2kK
−1
r
k(1 − q)
−1
keyk. (2.18)
N(
e
K)
e
X,
e
K
−1
r
R(K) = Y,
K
X Y.
K
−1
: Y −→ X,
x
0
, Kx
0
= ey, ey ∈
e
Y
kx
0
k 6 2kK
−1
k keyk.
X, Y,
e
X,
e
Y
U
U : X → Y, kU − Kk 6 η
1
; U :
e
X →
e
Y , kU −
e
Kk 6 η
2
. (2.19)
K
K
−1
s
(s = l r),
t
s
= (η
1
+ η
2
)kK
−1
s
k < 1 (s = l r) (2.20)
e
Y .
          Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå x0 óðàâíåíèÿ Kx = ye,
ye ∈ Ye . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ye ∈ Ye èìååì kx0 k 6 kKr−1 k ke
                                                          y k. Ïî óñëî-
                                    e òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî ye ∈ Ye
âèþ III à) ñóùåñòâóåò ýëåìåíò xe0 ∈ X
                     kxe0 k 6 kx0 − xe0 k + kx0 k 6 2kKr−1 k ke
                                                              y k.                   (2.16)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ëþáîãî ye ∈ Ye ñ ïîìîùüþ óñëîâèé I, III á) è (2.12)
íàõîäèì
               e xe0 − yek 6 kK
              kK              e xe0 − P K xe0 k + kP K xe0 − P Kx0 k 6

                             6 ε1 kxe0 k + ε03 kx0 k 6 qke
                                                         y k.                        (2.17)
Òîãäà â ñèëó (2.10), (2.16) è (2.17) è èçâåñòíîé ëåììû3 Ë.Â. Êàíòîðîâè-
÷à [47, c.489] (ñì. òàêæå âûøå ëåììó 2.7) ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå (1.2)
èìååò ðåøåíèå x  e∗ ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè ye ∈ Ye , ïðè÷åì
                             x∗ k 6 2kKr−1 k(1 − q)−1 ke
                            ke                         y k.                          (2.18)
                                      e èìååò ïðÿìîå äîïîëíåíèå â X,
Èç (2.18) è èç òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî N (K)                            e â
ñèëó ëåììû 2.3 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå îïåðàòîðà K  e r−1 è ñïðàâåäëèâîñòü
îöåíêè (2.11).
      Ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäñòâèÿ 1 âûòåêàåò èç ëåììû 2.1 è õîäà äîêàçà-
òåëüñòâà òåîðåìû 2.2.
      Äîêàæåì ñëåäñòâèå 2. Ïîñêîëüêó R(K) = Y, òî (ñì., íàïð., [47])
îïåðàòîð K îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ïîëíîãî
ïðîñòðàíñòâà X íà ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî Y. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò íåïðå-
                       −1
ðûâíûé îïåðàòîð K         : Y −→ X, îòêóäà â ñâîþ î÷åðåäü ñëåäóåò ñó-
ùåñòâîâàíèå òàêîãî ýëåìåíòà x0 , Kx0 = ye, ÷òî äëÿ ëþáîãî ye ∈ Ye ñïðà-
                                   −1
âåäëèâî íåðàâåíñòâî kx0 k 6 2kK k ke   y k. Äàëüíåéøåå ñëåäóåò èç õîäà
äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2.2.

                                   e Ye  ïîëíûå ïðîñòðàíñòâà è ñó-
          Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü X, Y, X,
ùåñòâóåò îïåðàòîð U òàêîé, ÷òî
    U : X → Y,        kU − Kk 6 η1 ;           e → Ye ,
                                            U :X                   e 6 η2 .
                                                              kU − Kk                (2.19)
Åñëè îïåðàòîð K èìååò îäíîñòîðîííèé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îáðàò-
íûé Ks−1 (s = l èëè r), òî ïðè
                      ts = (η1 + η2 )kKs−1 k < 1 (s = l èëè r)                       (2.20)
  3 Ýòà ëåììà, êàê âèäíî èç ñïîñîáà åå äîêàçàòåëüñòâà, ñïðàâåäëèâà òàêæå äëÿ íåïîëíûõ ïîäïðî-
ñòðàíñòâ Ye .

Страницы