Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

k
e
Kexk > kKexk − k
e
Kex − Kexk > kK
−1
l
k
−1
kexk−
−(ε
1
+ ε
2
kE − P k
Y
0
→Y
)kexk = kK
−1
l
k
−1
(1 − p)kexk.
2.5
e
K
−1
l
K
−1
e
K
−1
l
.
e
K
−1
r
,
e
K
−1
l
=
e
K
−1
r
=
e
K
−1
,
e
K
e
K
−1
l
,
e
Y
0
= R(
e
K)
e
Y .
e
Y = P Y = P KX K
−1
e
Y
0
=
e
K
e
X
e
Y
0
e
Y .
R(
e
K) =
e
Y =
e
Y
0
,
ey ∈
e
Y .
E −P : Y
0
−→ Y
P : Y −→ Y
P : Y −→ Y
p 6 [ε
1
+ (1 + kP k)ε
2
]kK
−1
l
k 6 (ε
1
+ 2ε
2
kP k)kK
−1
l
k.
P
2
6= P,
0
K
K
−1
l
, 4K = K −
e
K :
e
X −→ Y
               e xk > kK x
              kKe              ex
                         ek − kK      xk > kKl−1 k−1 ke
                                 e − Ke               xk−
                                       xk = kKl−1 k−1 (1 − p)ke
            −(ε1 + ε2 kE − P kY 0 →Y )ke                      xk.
Îòñþäà â ñèëó (2.5) è ëåììû 2.5 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ëåâîãî îáðàòíîãî
îïåðàòîðà K  e −1 è ñïðàâåäëèâîñòü îöåíêè (2.6).
               l
      Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñóùåñòâóåò äâóñòîðîííèé ëèíåéíûé îïå-
ðàòîð K −1 è âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (2.7). Òîãäà â ñèëó òåîðåìû ñóùå-
ñòâóåò ëåâûé îáðàòíûé K       e −1 . Ïîýòîìó â ñëó÷àå à) èç ñëåäñòâèÿ ëåììû
                               l
2.1 âûòåêàåò òàêæå ñóùåñòâîâàíèå K         e r−1 , ÷òî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâàì
Ke −1 = K
        e r−1 = Ke −1 , à ýòî ïðèâîäèò, î÷åâèäíî, ê îöåíêå (2.8).
  l
       ñëó÷àå á) äîêàçàòåëüñòâî âåäåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîñêîëü-
êó ëèíåéíûé îïåðàòîð K       e èìååò ëåâûé ëèíåéíûé îáðàòíûé K      e −1 , òî â
                                                                      l
ñèëó ëåììû 2.6 ìíîæåñòâî Y = R(K) çàìêíóòî â ïîäïðîñòðàíñòâå Ye .
                                  e 0     e
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ò. ê. Ye = P Y = P KX â ñèëó ñóùåñòâîâàíèÿ K −1
è Ye 0 = K  eX e ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, òî ñ ïîìîùüþ óñëîâèÿ Á ìîæ-
íî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Ye 0 âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå Ye . Òîãäà
R(K)e = Ye = Ye 0 , è ïîýòîìó óðàâíåíèå (1.2) ðàçðåøèìî ïðè ëþáîé ïðàâîé
÷àñòè ye ∈ Ye . Îòñþäà è èç òåîðåìû 2.1 ïîëó÷àåì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
       ñëó÷àå æå â) ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäñòâèÿ âûòåêàåò èç òåîðåìû 2.1
è òåîðåì Ôðåäãîëüìà äëÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà ñ âïîëíå
íåïðåðûâíûìè îïåðàòîðàìè.
      Â ïðèëîæåíèÿõ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì

      Çàìå÷àíèå 2.2. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
       a) Îïåðàòîð E − P : Y 0 −→ Y î÷åíü ÷àñòî ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì,
åñëè äàæå îïåðàòîð P : Y −→ Y íå îãðàíè÷åí (ñì., íàïð., [10][13], [17],
[18]).
       á) Åñëè P : Y −→ Y  îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, òî â óñëîâèÿõ
òåîðåìû 2.1, íåñêîëüêî îãðóáëÿÿ, ìîæíî ïîëîæèòü

           p 6 [ε1 + (1 + kP k)ε2 ]kKl−1 k 6 (ε1 + 2ε2 kP k)kKl−1 k.

      â) Åñëè P 2 6= P, òî òåîðåìà 2.1 íå âåðíà.  ýòîì ñëó÷àå, êàê âèäíî
èç åå äîêàçàòåëüñòâà, ñïðàâåäëèâà (ñì. òàêæå [69]) ñëåäóþùàÿ

      Òåîðåìà 2.1 0 . Ïóñòü îïåðàòîð K èìååò ëåâûé ëèíåéíûé íåïðå-
                                           e :X
ðûâíûé îáðàòíûé Kl−1 , à îïåðàòîð 4K = K − K  e −→ Y îãðàíè÷åí.

Страницы