Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
X/X
0
X
X
0
⊂ X
K
e
K
−1
l
, E − P : Y
0
→ Y
Y
0
= {y = Kex − ey ∈ Y : ex ∈
e
X, ey ∈
e
Y } ⊂ Y.
P
2
= P
p = (ε
1
+ ε
2
kE − P k
Y
0
→Y
)kK
−1
l
k < 1, (2.5)
e
K
e
K
−1
l
,
k
e
K
−1
l
k 6 kK
−1
l
k(1 − p)
−1
. (2.6)
(1.2)
e
X =
e
Y .
K K
−1
,
p = (ε
1
+ ε
2
kE − P k
Y
0
→Y
)kK
−1
k < 1 (2.7)
e
K
e
K
−1
k
e
K
−1
k 6 kK
−1
k(1 − p)
−1
. (2.8)
ey ∈
e
Y
ex ∈
e
X P
2
= P
kKex − P Kexk = k(E − P )(Kex − ey)k 6 ε
2
kE − P k
Y
0
→Y
kexk.
ex ∈
e
X
kKex −
e
Kexk 6 kKex − P Kexk + kP Kex −
e
Kexk 6 ε
1
kexk+
+ε
2
kE − P k
Y
0
→Y
kexk = (ε
1
+ ε
2
kE − P k
Y
0
→Y
)kexk. (2.9)
ex ∈
e
X
     Ëåììà 2.8. Åñëè X  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, òî è ôàêòîð-
ïðîñòðàíñòâî X/X0 ïðîñòðàíñòâà X ïî ïðîèçâîëüíîìó ôèêñèðîâàí-
íîìó ïîäïðîñòðàíñòâó X0 ⊂ X áóäåò áàíàõîâûì.
     Â äàëüíåéøåì ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò ñëåäóþùàÿ

     Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü îïåðàòîð K èìååò ëåâûé ëèíåéíûé íåïðå-
                e −1 , à îïåðàòîð E − P : Y 0 → Y îãðàíè÷åí, ãäå
ðûâíûé îáðàòíûé Kl

             Y 0 = {y = Ke
                         x − ye ∈ Y : x   e ye ∈ Ye } ⊂ Y.
                                      e ∈ X,

Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ I, II, P 2 = P è

                  p = (ε1 + ε2 kE − P kY 0 →Y )kKl−1 k < 1,          (2.5)

òî ïðèáëèæåííûé îïåðàòîð K  e èìååò òàêæå ëåâûé ëèíåéíûé íåïðå-
                e −1 , ïðè÷åì
ðûâíûé îáðàòíûé Kl

                         e −1 k 6 kK −1 k(1 − p)−1 .
                        kK                                           (2.6)
                           l        l


     Ñëåäñòâèå. Ïóñòü âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: à) À;
á) Á; â) óðàâíåíèå (1.2) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ðîäà ñ âïîëíå
íåïðåðûâíûì îïåðàòîðîì â ïîëíîì ïðîñòðàíñòâå X          e = Ye . Åñëè îïå-
ðàòîð K èìååò äâóñòîðîííèé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îáðàòíûé K −1 ,
òî ïðè
                 p = (ε1 + ε2 kE − P kY 0 →Y )kK −1 k < 1            (2.7)
                      e èìååò òàêæå ëèíåéíûé äâóñòîðîííèé îïå-
ïðèáëèæåííûé îïåðàòîð K
      e −1 è
ðàòîð K
                     e −1 k 6 kK −1 k(1 − p)−1 .
                    kK                                   (2.8)
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ye ∈ Ye  ýëåìåíò, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëî-
âèþ II. Òîãäà äëÿ ëþáîãî x e ñ ó÷åòîì P 2 = P èìååì
                         e∈X

       kKe
         x − P Kx
                ek = k(E − P )(K x
                                 e − ye)k 6 ε2 kE − P kY 0 →Y ke
                                                               xk.

Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî x e ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ I ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì
                   e∈X

         kK x   e xk 6 kK x
            e − Ke        e − P Kx
                                 ek + kP K x   e xk 6 ε1 ke
                                           e − Ke         xk+

           +ε2 kE − P kY 0 →Y ke
                               xk = (ε1 + ε2 kE − P kY 0 →Y )ke
                                                              xk.    (2.9)
Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà (2.9) ëþáîãî x e íàõîäèì
                                   e∈X

Страницы