Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

e
Z = R(
e
U
∗
),
e
U
−1
l
.
e
X
e
Y dim
e
X = n <
< m = dim
e
Y < ∞.
e
K
−1
l
.
m
n
e
K
−1
r
K : X −→ Y
K
−1
l
,
N(K) K
N(K) ≡ {x ∈ X : Kx = 0} = {0};
R(K) K : X −→ Y
Y.
K : X −→ Y
K
−1
r
,
R(K) K Y,
R(K) ≡ KX = Y ;
N(K) X.
X
kUk 6 q < 1.
E − U : X −→ X
k(E − U)
−1
k 6 1/(1 − q).
ïîëó÷àåì óñëîâèå Ze = R(Ue ∗ ), äîñòàòî÷íîå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ëåâîãî ëè-
íåéíîãî îáðàòíîãî îïåðàòîðà U  e −1 . Îòñþäà è èç ñîîòíîøåíèé (2.2) ñëåäóåò
                                l
ñïðàâåäëèâîñòü äîñòàòî÷íîñòè óñëîâèé ëåììû.

                                                                e
     Çàìå÷àíèå 2.1. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ ëåììû 2.1 îòíîñèòåëüíî X
è Ye íå ìîãóò áûòü îñëàáëåíû. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü, íàïð., dim Xe =n<
< m = dim Ye < ∞. Òîãäà îñòàâøèåñÿ óñëîâèÿ ëåììû îáåñïå÷èâàþò ñó-
ùåñòâîâàíèå ëåâîãî îáðàòíîãî îïåðàòîðà Ke −1 . Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ
                                         l
ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå (1.2) ìîæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû îíî áûëî â
îïðåäåëåííîì ñìûñëå ýêâèâàëåíòíî ïåðåîïðåäåëåííîé ñèñòåìå èç m ëè-
íåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè. Ïîñêîëüêó òàêàÿ
ñèñòåìà íå âñåãäà ñîâìåñòíà, òî ïðàâûé îáðàòíûé îïåðàòîð K   e r−1 áóäåò
ñóùåñòâîâàòü íå âñåãäà.

     Ëåììà 2.2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ëèíåéíûé îïåðàòîð K : X −→ Y
èìåë ëåâûé ëèíåéíûé îáðàòíûé Kl−1 , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû:
      1) ïîäïðîñòðàíñòâî íóëåé N (K) îïåðàòîðà K áûëî òðèâèàëüíûì,
ò. å.
                   N (K) ≡ {x ∈ X : Kx = 0} = {0};
    2) ìíîæåñòâî çíà÷åíèé R(K) îïåðàòîðà K : X −→ Y èìåëî
ïðÿìîå äîïîëíåíèå â ïðîñòðàíñòâå Y.

     Ëåììà 2.3. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ëèíåéíûé îïåðàòîð K : X −→ Y
èìåë ïðàâûé ëèíåéíûé îáðàòíûé Kr−1 , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî-
áû:
     1) ìíîæåñòâî çíà÷åíèé R(K) îïåðàòîðà K ñîâïàäàëî ñ Y, ò.å.
R(K) ≡ KX = Y ;
     2) ìíîæåñòâî N (K) èìåëî ïðÿìîå äîïîëíåíèå â ïðîñòðàíñòâå X.

     Ëåììà 2.4. Ïóñòü X  ïîëíîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðî-
ñòðàíñòâî è
                              kU k 6 q < 1.
     Òîãäà îïåðàòîð E − U : X −→ X èìååò ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé
îáðàòíûé, ïðè÷åì
                     k(E − U )−1 k 6 1/(1 − q).

Страницы