Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ex ∈
e
X ey ∈
e
Y
kKex − eyk 6 ε
2
kexk,
ε
1
ε
2
ex ∈
e
X.
x
0
∈ X Kx
0
= ey, ey ∈
e
Y ,
ex
0
∈
e
X,
a) kx
0
− ex
0
k 6 ε
3
kx
0
k,
b) kP Kx
0
− P Kex
0
k 6 ε
0
3
kx
0
k,
ε
3
ε
0
3
x
0
.
K
−1
l
, K
−1
r
, K
−1
s
K
−1
e
K
−1
l
,
e
K
−1
r
,
e
K
−1
s
e
K
−1
§
e
K (1.2)
e
K
−1
l
e
K
−1
r
.
e
K
−1
e
K
−1
s
(s = l r).
     II. Äëÿ ëþáîãî x e ñóùåñòâóåò ýëåìåíò ye ∈ Ye òàêîé, ÷òî
                    e∈X

                            kKe
                              x − yek 6 ε2 ke
                                            xk,

ãäå ε1 è ε2  ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, íå çàâèñÿùèå îò x e ∈ X.e
      III. Äëÿ ðåøåíèÿ x0 ∈ X óðàâíåíèÿ Kx0 = ye, ãäå ye ∈ Ye , ñóùå-
ñòâóåò òàêîé ýëåìåíò x       e ÷òî
                        e0 ∈ X,

                          a) kx0 − x
                                   e0 k 6 ε3 kx0 k,

                                      e0 k 6 ε03 kx0 k,
                      b) kP Kx0 − P K x
ãäå ïîñòîÿííûå ε3 è ε03 íå çàâèñÿò îò x0 .
      Íèæå óñòàíàâëèâàþòñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êî-
òîðûõ èç ñóùåñòâîâàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ëåâîãî, ïðàâîãî, îäíîñòîðîííåãî
è äâóñòîðîííåãî îïåðàòîðîâ Kl−1 , Kr−1 , Ks−1 è K −1 äëÿ òî÷íîãî óðàâ-
                                                            e −1 , K
íåíèÿ (1.1) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðîâ K      e r−1 ,
                                                              l
Ke −1 è K
        e −1 äëÿ ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ (1.2). Ýòè ðåçóëüòàòû ïîçâî-
  s
ëÿþò â ñâîþ î÷åðåäü èññëåäîâàòü ðàçëè÷íûå âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ðàçðå-
øèìîñòüþ ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ è åäèíñòâåííîñòüþ ïðèáëèæåííîãî
ðåøåíèÿ, à òàêæå ñ îöåíêîé ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ è ñõî-
äèìîñòüþ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ è ò. ï. Ïðè ýòîì çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå
óäåëÿåòñÿ ïðÿìûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé, èìåþùèì
ñóùåñòâåííîå çíà÷åíèå âî âñåì äàëüíåéøåì èçëîæåíèè.


        § 2. Îäíîñòîðîííÿÿ è äâóñòîðîííÿÿ îáðàòèìîñòü
                  àïïðîêñèìèðóþùèõ îïåðàòîðîâ

     Ïðè âûâîäå îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû ñóùåñòâåííûì îáðàçîì
èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû.

     Ëåììà 2.1. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå A. Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû
îïåðàòîð K   e èç (1.2) èìåë ëåâûé ëèíåéíûé îáðàòíûé K
                                                     e −1 , íåîáõîäè-
                                                      l
ìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ýòîò îïåðàòîð èìåë ïðàâûé ëèíåéíûé îáðàò-
íûé Ke r−1 .

     Ñëåäñòâèå. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå À. Òîãäà äëÿ ñóùåñòâîâà-
                                                e −1 íåîáõîäèìî è äî-
íèÿ äâóñòîðîííåãî ëèíåéíîãî îáðàòíîãî îïåðàòîðà K
ñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë ëþáîé èç îïåðàòîðîâ K  e s−1 (s = l èëè r).

Страницы