Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[65]
m = dim
e
X = dim
e
Y m
e
Z = E
m
e
X
e
Z,
e
Y
e
Z ϕ
e
X
e
Z, ψ
e
Y
e
Z.
e
U ez =
e
f (ez,
e
f ∈
e
Z),
e
U = ψ
e
Kϕ
−1
,
e
f = ψey, ez = ϕex. (2.1)
e
K
e
K
−1
s
(s = l r),
e
U
e
U
−1
s
(s = l r),
e
U
−1
s
= ϕ
e
K
−1
s
ψ
−1
,
e
K
−1
s
= ϕ
−1
e
U
−1
s
ψ. (2.2)
e
U
[65]
R(
e
U) ⊕ N(
e
U
∗
) =
e
Z = R(
e
U
∗
) ⊕ N(
e
U), (2.3)
dim N(
e
U) = dim N(
e
U
∗
) < ∞, (2.4)
e
Z;
e
U
∗
= (
e
U)
∗
e
U
−1
l
.
e
U N(
e
U) = ∅.
N(
e
U
∗
) = ∅,
e
U
∗
e
Z = R(
e
U),
e
U
−1
r
.
e
U
−1
r
.
R(
e
U) =
e
Z, N(
e
U
∗
) = ∅,
N(
e
U) = ∅.
      Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ðàçëè÷-
íûìè ñïîñîáàìè (ñì., íàïð., â ãë. 1 [10]). Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé
ÐèññàØàóäåðà [65] äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ óðàâíåíèé.
      Èòàê, ïîëîæèì m = dim X   e = dim Ye è ðàññìîòðèì m -ìåðíîå åâ-
êëèäîâî ïðîñòðàíñòâî Z e = Em ñ îáû÷íîé íîðìîé è ñêàëÿðíûì ïðîèçâå-
äåíèåì. Èçâåñòíî, ÷òî ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà X     e è Z,
                                                                     e à
òàêæå Ye è Z e ÿâëÿþòñÿ ãîìåîìîðôíûìè. Ïóñòü ϕ  ãîìåîìîðôèçì X        e
   e à ψ  ãîìåîìîðôèçì Ye íà Z.
íà Z,                              e Òîãäà óðàâíåíèå (1.2) ýêâèâàëåíòíî,
î÷åâèäíî, ñëåäóþùåìó îïåðàòîðíîìó óðàâíåíèþ:

       e ze = fe (e
       U          z , fe ∈ Z),
                           e     e = ψ Kϕ
                                 U     e −1 ,     fe = ψe
                                                        y,   ze = ϕe
                                                                   x.     (2.1)

      Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè îïåðàòîð K  e èìååò îäíîñòîðîííèé îáðàòíûé
e s−1 (s = l èëè r), òî â ñèëó (2.1) îïåðàòîð U
K                                             e èìååò òàêæå ñîîòâåòñòâó-
þùèé îáðàòíûé U   e −1 (s = l èëè r), è íàîáîðîò, ïðè÷åì
                   s

                    es−1 = ϕK
                    U       e s−1 ψ −1 ,   e s−1 = ϕ−1 U
                                           K           es−1 ψ.            (2.2)

Ïîýòîìó ëåììó äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ïðèìåíèòåëüíî ê îïåðàòîðó U     e èç
(2.1). Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííî áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ (ñì., íàïð.,
[65] )
                      e ) ⊕ N (U
                    R(U        e ∗ ) = Ze = R(U
                                              e ∗ ) ⊕ N (U
                                                         e ),             (2.3)
                               e ) = dim N (U
                        dim N (U            e ∗ ) < ∞,                    (2.4)
ýêâèâàëåíòíûå òåîðèè ÐèññàØàóäåðà äëÿ óðàâíåíèÿ (2.1), çàäàííîãî â
êîíå÷íîìåðíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå Z;     e çäåñü è äàëåå U  e ∗ = (Ue )∗ 
ñîîòâåòñòâóþùèé ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð.
      Ïóñòü ñóùåñòâóåò ëåâûé ëèíåéíûé îáðàòíûé U       e −1 . Òîãäà ïîäïðî-
                                                         l
                                           e
ñòðàíñòâî íóëåé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà U ïóñòî, ò. å. N (U     e ) = ∅. Â ñèëó
(2.4) èìååì N (U e ∗ ) = ∅, ò. å. ïîäïðîñòðàíñòâî íóëåé ñîïðÿæåííîãî îïå-
ðàòîðà Ue ∗ òîæå ïóñòî. Ïîýòîìó èç ïåðâîé ÷àñòè ðàâåíñòâ (2.3) íàõîäèì
Ze = R(U e ), îòêóäà óæå ëåãêî óáåäèòüñÿ â ñóùåñòâîâàíèè U      er−1 . Îòñþäà
è èç ñîîòíîøåíèé (2.2) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü íåîáõîäèìîñòè óñëîâèé
ëåììû.
      Ïóñòü òåïåðü ñóùåñòâóåò ïðàâûé ëèíåéíûé îáðàòíûé U         er−1 . Òàê êàê
R(Ue ) = Z,
         e òî èç ïåðâîé ÷àñòè ðàâåíñòâ (2.3) ñëåäóåò N (U    e ∗ ) = ∅, à çíà-
÷èò, â ñèëó (2.4) è N (U e ) = ∅. Íî òîãäà èç âòîðîé ÷àñòè ðàâåíñòâ (2.3)

Страницы