Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
X
Y
e
X ⊂ X
e
Y ⊂ Y
Kx = y (x ∈ X, y ∈ Y ) (1.1)
e
Kex = ey (ex ∈
e
X, ey ∈
e
Y ), (1.2)
K
e
K
X Y
e
X
e
Y .
P, Y
e
Y : P Y =
e
Y .
X
e
X, Y
e
Y , K
e
K, P E
E
e
X ⊂ X
e
Y ⊂ Y
dim
e
X = dim
e
Y < ∞.
P
2
= P,
e
K
e
X
ε > 0 x ∈ X
ex ∈
e
X
kP Kx −
e
Kexk < ε.
ex ∈
e
X
k
e
Kex − P Kexk 6 ε
1
kexk.
P, K
e
K,
                             § 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è

     Ââåäåì îñíîâíûå óðàâíåíèÿ, ïðîñòðàíñòâà è îïåðàòîðû. Ïóñòü X è
Y  ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà, à X  e ⊂ X è Ye ⊂ Y  èõ
ïðîèçâîëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Ðàññìîòðèì äâà óðàâíåíèÿ: òî÷íîå 

                               Kx = y (x ∈ X, y ∈ Y )                                   (1.1)

è ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ïðèáëèæåííîå 
                              e x = ye (e
                              Ke            e ye ∈ Ye ),
                                        x ∈ X,                                          (1.2)

ãäå K è K  e  ëèíåéíûå (ò. å àääèòèâíûå è îäíîðîäíûå) îïåðàòîðû, äåé-
ñòâóþùèå ñîîòâåòñòâåííî èç X â Y è èç X    e â Ye .
      Èíîãäà áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò àääèòèâíûé è îäíîðîä-
íûé (ò. å. ëèíåéíûé) îïåðàòîð P, îòîáðàæàþùèé Y íà Ye : P Y = Ye .
      Ïðîñòðàíñòâà X è X,  e Y è Ye , îïåðàòîðû K è K,
                                                     e P è E (çäåñü è
äàëåå E  åäèíè÷íûé îïåðàòîð) ÿâëÿþòñÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå áëèç-
êèìè, òî÷íåå, ñâÿçàííûìè ìåæäó ñîáîé íåêîòîðûìè óñëîâèÿìè áëèçî-
ñòè. Ýòî äàåò îñíîâàíèå íàçûâàòü óðàâíåíèå (1.1) "òî÷íûì", à óðàâíåíèå
(1.2)  "ïðèáëèæåííûì", ñîîòâåòñòâóþùèì òî÷íîìó óðàâíåíèþ (1.1), ÷òî
â ñâîþ î÷åðåäü ïîçâîëÿåò çà ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå òî÷íîãî óðàâíåíèÿ
(1.1) ïðèíÿòü òî÷íîå ðåøåíèå ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ (1.2).
      Â äàëüíåéøåì, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè, íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêî-
òîðûå èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé (òî÷íåå, â íåêîòîðîé èõ ñîâîêóïíîñòè)2 .
                       e ⊂ X è Ye ⊂ Y  êîíå÷íîìåðíûå ïîäïðîñòðàí-
      Ó c ë î â è å À. X
ñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè:
                                     e = dim Ye < ∞.
                                 dim X
                               e  íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, X
     Ó ñ ë î â è å Á. P 2 = P, K                         e åñòü áà-
íàõîâî ïðîñòðàíñòâî, ïðè÷åì äëÿ ëþáûõ ε > 0 è x ∈ X ñóùåñòâóåò
ýëåìåíò x e∈X  e òàêîé, ÷òî

                                           e xk < ε.
                                   kP Kx − Ke

       I. Äëÿ ëþáîãî x e
                     e∈X
                                 e x − P Kx
                                kKe       ek 6 ε1 ke
                                                   xk.
  2 Îòìåòèì,  ÷òî åñòåñòâåííûå îãðàíè÷åíèÿ, îáóñëîâëåííûå âîçìîæíîé íåîãðàíè÷åííîñòüþ îïåðà-
                                e âïîëíå î÷åâèäíû è ïîýòîìó çäåñü ñïåöèàëüíî íå îãîâàðèâàþòñÿ.
òîðà P, à òàêæå îïåðàòîðîâ K è K,

Страницы