Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X, Y
G, U : X −→ Y
G
−1
: Y −→ X
kG
−1
Uk
X→X
6 q < 1.
G − U : X −→ Y
k(G − U)
−1
k 6 kG
−1
k/(1 − q).
X, Y
K X Y.
K
m > 0, x ∈ X,
kKxk > m||x||, ∀x ∈ X.
kK
−1
l
k 6 1/m, K
−1
l
: Y −→ X.
U,
X Y,
U
−1
l
, Y
0
= UX
Y
0
Y.
U
X Y
y ∈ Y x ∈ X,
||Ux − y|| 6 q||y||; ||x|| 6 N||y||,
q < 1 N
Ux = y
y ∈ Y x
∗
∈ X,
kx
∗
k 6
N
1 − q
kyk.
    Ñëåäñòâèå.   Ïóñòü X, Y         áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà,
G, U : X −→ Y  ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû, ïðè÷åì
ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îáðàòíûé îïåðàòîð G−1 : Y −→ X òàêîé, ÷òî

                        kG−1 U kX→X 6 q < 1.

Òîãäà îïåðàòîð G − U : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèì è

                   k(G − U )−1 k 6 kG−1 k/(1 − q).

    Ëåììà 2.5. Ïóñòü X, Y  ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàí-
ñòâà, K  ëèíåéíûé îïåðàòîð èç X â Y.
     Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû îïåðàòîð K áûë íåïðåðûâíî îáðàòè-
ìûì ñëåâà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà ïîñòîÿííàÿ
m > 0, íå çàâèñÿùàÿ îò ýëåìåíòîâ x ∈ X, òàêàÿ, ÷òî

                      kKxk > m||x||, ∀x ∈ X.

Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî íåðàâåíñòâà èìååì

                  kKl−1 k 6 1/m,      Kl−1 : Y −→ X.

    Ëåììà 2.6. Åñëè ëèíåéíûé îïåðàòîð U, ïåðåâîäÿùèé áàíàõîâî
ïðîñòðàíñòâî X â áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y, èìååò ëåâûé ëèíåéíûé
íåïðåðûâíûé îáðàòíûé Ul−1 , òî ìíîæåñòâî Y 0 = U X ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî.

    Ñëåäñòâèå. Â óñëîâèÿõ ëåììû ìíîæåñòâî Y 0 çàìêíóòî â Y.
    Ëåììà 2.7. Ïóñòü U  ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç áàíà-
õîâà ïðîñòðàíñòâà X â áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y è ïóñòü äëÿ êàæäîãî
y ∈ Y ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò x ∈ X, ÷òî

                  ||U x − y|| 6 q||y||; ||x|| 6 N ||y||,

ãäå q < 1 è N  ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Òîãäà óðàâíåíèå

                                Ux = y

ïðè ëþáîì y ∈ Y èìååò ðåøåíèå x∗ ∈ X, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó
                                      N
                           kx∗ k 6       kyk.
                                     1−q

Страницы