Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

e
E
y
e
E
x
e
Y
e
X
U
−1
l
U
−1
r
,
e
K
e
K
−1
s
:
e
Y →
e
X, k
e
K
−1
s
k 6 kU
−1
s
k(1 − t
2
)
−1
. (2.28)
t
1
+ t
2
− t
1
t
2
6 t ≡ (η
1
+ η
2
)kK
−1
s
k, (2.29)
t
1
= η
1
kK
−1
s
k, t
2
= η
2
kU
−1
s
k 6 η
2
kK
−1
s
k(1 − t
1
)
−1
,
R(
e
K)
e
Y . (1.1)
(1.2)
e
K = E +
e
H, E
e
H
e
X =
e
Y .
K
e
K
R(
e
K) =
e
Y ,
ey ∈
e
Y .
§
§ ex
∗
x
∗
K
−1
(1.2) ex
∗
ey ∈
e
Y .
    ey è E
ãäå E    ex  åäèíè÷íûå îïåðàòîðû â Ye è X  e ñîîòâåòñòâåííî, ñïðà-
âåäëèâûõ ïðè ñóùåñòâîâàíèè ñîîòâåòñòâåííî Ul−1 è Ur−1 , íàõîäèì, ÷òî
ïðèáëèæåííûé îïåðàòîð Ke èìååò îáðàòíûé

                e s−1 : Ye → X,
                K            e     e s−1 k 6 kUs−1 k(1 − t2 )−1 .
                                  kK                                  (2.28)

Èç ñîîòíîøåíèé (2.20), (2.25)(2.28) è èç ëåãêî ïðîâåðÿåìîãî íåðàâåíñòâà

                    t1 + t2 − t1 t2 6 t ≡ (η1 + η2 )kKs−1 k,          (2.29)

ãäå t1 = η1 kKs−1 k, t2 = η2 kUs−1 k 6 η2 kKs−1 k(1 − t1 )−1 , íàõîäèì îöåíêó
(2.21), à èç íåå è èç (2.22) ñëåäóåò, î÷åâèäíî, îöåíêà (2.23).

                                                          e
     Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå Á è ìíîæåñòâî R(K)
çàìêíóòî â Ye . Åñëè óðàâíåíèå (1.1) ðàçðåøèìî ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñ-
òè, òî óðàâíåíèå (1.2) òàêæå ðàçðåøèìî ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè.

     Ñëåäñòâèå. Ïóñòü âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: à) À;
á) Ke = E + H,e ãäå E  åäèíè÷íûé, à H     e  âïîëíå íåïðåðûâíûé îïå-
ðàòîðû â ïîëíîì ïðîñòðàíñòâå X    e = Ye . Åñëè, êðîìå òîãî, âûïîëíÿåò-
ñÿ óñëîâèå Á, à îïåðàòîð K èìååò äâóñòîðîííèé ëèíåéíûé îáðàòíûé,
òî ïðèáëèæåííûé îïåðàòîð K    e èìååò òàêæå äâóñòîðîííèé ëèíåéíûé
îáðàòíûé.
      Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèÿ òåîðåìû îáåñïå÷èâàþò, êàê ìû óæå âèäåëè
ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñëó÷àÿ á) ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 2.1, ñïðàâåäëèâîñòü
ðàâåíñòâà R(K)e = Ye , îòêóäà ñëåäóåò ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ (1.2) ïðè
ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè ye ∈ Ye . Òîãäà ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäñòâèÿ â ñëó÷àå
à) âûòåêàåò, î÷åâèäíî, èç ëåììû 2.1, à â ñëó÷àå á) ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ ñ
ïîìîùüþ òåîðåì Ôðåäãîëüìà äëÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà.


          § 3. Î ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ

       äàëüíåéøåì, êàê óæå îòìå÷àëîñü â § 1, ðåøåíèå xe∗ ïðèáëèæåí-
íîãî óðàâíåíèÿ (1.2) ïðèíèìàåòñÿ çà ïðèáëèæåíèå ê ðåøåíèþ x∗ òî÷íîãî
óðàâíåíèÿ (1.1). Â ñëåäóþùèõ òåîðåìàõ è èõ ñëåäñòâèÿõ óñòàíàâëèâàåòñÿ
îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ.

     Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ëèíåéíûé îïåðàòîð K −1 è óðàâ-
                          e∗ ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè ye ∈ Ye . Òîãäà
íåíèå (1.2) èìååò ðåøåíèå x

Страницы