Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(4.1) (4.2).
(4.1), K
X Y,
K
−1
.
η = η(K) = ||K|| ||K
−1
||; K : X → Y, K
−1
: Y → X,
K (4.1);
(4.1) η
(4.1)
η = ∞,
K
ε = x
∗
− ex
∗
,
δ = y − Kex
∗
= Kx
∗
− Kex
∗
.
η(K) = sup
x
∗
½
sup
δ
µ
||ε||
||x
∗
||
:
||δ||
||y||
¶¾
= ||K|| ||K
−1
||. (5.6)
η(K)
K
x
∗
(4.1)
(4.1) x
∗
n
(4.2).
5.1, x
∗
n
η
n
= ||K
n
|| ||K
−1
n
||, K
n
: X
n
→ Y
n
, K
−1
n
: Y
n
→ X
n
,
îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñâåäåíèÿ èç
ýòîé îáëàñòè, à òàêæå èçó÷àåòñÿ ñâÿçü ìåæäó ÷èñëàìè îáóñëîâëåííîñòè
îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé (4.1) è (4.2).
     Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (4.1), ãäå ëèíåéíûé îïåðàòîð K äåéñòâóåò
èç íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X â íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî Y,
ïðè÷åì ñóùåñòâóåò (îãðàíè÷åííûé èëè íåîãðàíè÷åííûé) îáðàòíûé îïå-
ðàòîð K −1 . Âåëè÷èíó

         η = η(K) = ||K|| ||K −1 ||;   K : X → Y,    K −1 : Y → X,

áóäåì íàçûâàòü ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè îïåðàòîðà K è óðàâíåíèÿ (4.1);
óðàâíåíèå (4.1) áóäåì íàçûâàòü õîðîøî îáóñëîâëåííûì, åñëè η  íåâåëè-
êî, è ïëîõî îáóñëîâëåííûì  â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
      Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîððåêòíûõ óðàâíåíèé (4.1) ÷èñëî îáóñëîâëåí-
íîñòè η = ∞, è ïîýòîìó îíè ÿâëÿþòñÿ ïëîõî îáóñëîâëåííûìè, ÷òî õîðîøî
ñîãëàñóåòñÿ ñî ñâîéñòâàìè òàêèõ óðàâíåíèé.
      ×èñëî îáóñëîâëåííîñòè îïåðàòîðà K ñëóæèò òîé êîëè÷åñòâåííîé
õàðàêòåðèñòèêîé, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ñâÿçè ïîãðåøíîñòè ïðèáëè-
æåííîãî ðåøåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùåé íåâÿçêè, ò. å. âåëè÷èí ε = x∗ − x     e∗ ,
δ = y − Kxe∗ = Kx∗ − Ke x∗ . Äåéñòâèòåëüíî, êàê ïîêàçàíî â [6], [54], ñïðà-
âåäëèâî ñîîòíîøåíèå
                       ½   µ              ¶¾
                              ||ε|| ||δ||
            η(K) = sup sup       ∗
                                   :         = ||K|| ||K −1 ||.        (5.6)
                    x∗   δ   ||x || ||y||
Êðîìå òîãî, ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè η(K) ïîçâîëÿåò ñóäèòü òàêæå îá
óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, èç
[6], [54] ñëåäóåò, ÷òî âëèÿíèå íåòî÷íîñòè â çàäàíèè îïåðàòîðà K íà ðå-
øåíèå x∗ óðàâíåíèÿ (4.1) â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ìåíüøå äëÿ õîðîøî
îáóñëîâëåííûõ îïåðàòîðîâ è áîëüøå  äëÿ ïëîõî îáóñëîâëåííûõ.
       Äàëåå, êàê óæå óêàçûâàëîñü âûøå, â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî ðåøå-
íèÿ òî÷íîãî óðàâíåíèÿ (4.1) ìû áåðåì òî÷íîå ðåøåíèå x∗n ïðèáëèæåííî-
ãî óðàâíåíèÿ (4.2). Îäíàêî íà ïðàêòèêå, êàê îòìå÷àëîñü ïåðåä òåîðåìîé
5.1, x∗n ìîæåò áûòü íàéäåíî, âîîáùå ãîâîðÿ, òîëüêî ïðèáëèæåííî. Îïðå-
äåëåííîå ïðåäñòàâëåíèå î äîïóñêàåìîé ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòè äàåò, êàê
ýòî âèäíî èç ñêàçàííîãî, ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè

           ηn = ||Kn || ||Kn−1 ||, Kn : Xn → Yn , Kn−1 : Yn → Xn ,

Страницы