Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K = G + T : X −→ Y
ε
0
n
≡ kT − P
n
T k
X→Y
→ 0, n → ∞, P
2
n
= P
n
,
n ∈ N
q
0
n
≡ kK
−1
kε
0
n
< 1,
K
n
= G + P
n
T : X −→ Y K
n
= G + P
n
T : X
n
−→ Y
n
kx
∗
− x
∗
n
k = k(G + P
n
T )
−1
(Gx
∗
− P
n
Gx
∗
)k 6
6 k(G + P
n
T )
−1
k
Y →X
· kGx
∗
− P
n
Gx
∗
k
Y
= O{kGx
∗
− P
n
Gx
∗
k
Y
},
x
∗
n
∈ X
n
(6.2) y
n
= P
n
y ∈ Y
n
.
GX
n
= Y
n
P
n
Gx
n
≡ Gx
n
x
n
∈ X
n
K G : X −→ Y
P
2
n
= P
n
, n ∈ N; kP
n
k
Y →Y
n
⊂Y
= O(1), n → ∞
GX
n
6= Y
n
, n ∈ N T : X −→ Y
n ∈ N
G
−1
n
≡ (P
n
G)
−1
: Y
n
−→ X
n
n > n
0
∈ N (6.2)
x
∗
n
= K
−1
n
P
n
y
x
∗
= K
−1
y X
kx
∗
− x
∗
n
k
X
= O
©
E
n
(x
∗
)
X
ª
. (6.5)
Ax ≡ x + G
−1
T x = G
−1
y (x, G
−1
y ∈ X), (6.6)
     â) åñëè îïåðàòîð K = G + T : X −→ Y ëèíåéíî îáðàòèì è

             ε0n ≡ kT − Pn T kX→Y → 0, n → ∞, Pn2 = Pn ,

òî ïðè n ∈ N òàêèõ, ÷òî

                           qn0 ≡ kK −1 kε0n < 1,

êàæäûé èç îïåðàòîðîâ

       Kn = G + Pn T : X −→ Y       è   Kn = G + Pn T : Xn −→ Yn

òàêæå ëèíåéíî îáðàòèì, à äëÿ ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ
ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ

              kx∗ − x∗n k = k(G + Pn T )−1 (Gx∗ − Pn Gx∗ )k 6

    6 k(G + Pn T )−1 kY →X · kGx∗ − Pn Gx∗ kY = O{kGx∗ − Pn Gx∗ kY },
ãäå x∗n ∈ Xn  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.2) ïðè yn = Pn y ∈ Yn .
      Îòìåòèì, ÷òî íà ïðàêòèêå óñëîâèå GXn = Yn è òåì ñàìûì ñóùå-
ñòâåííî èñïîëüçóåìîå â òåîðåìå 6.1 òîæäåñòâî Pn Gxn ≡ Gxn (äëÿ ëþáîãî
xn ∈ Xn ) íåðåäêî íå âûïîëíÿåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå âûõîä èç ïîëîæåíèÿ ïîç-
âîëÿåò íàéòè (ñì. òàêæå [39])

     Òåîðåìà 6.2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     à) ëèíåéíûå îïåðàòîðû K è G : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèìû;
     á) Pn2 = Pn , n ∈ N; kPn kY →Y ⊂Y = O(1), n → ∞ ;
                                   n
     â) GXn 6= Yn , n ∈ N , à T : X −→ Y åñòü âïîëíå íåïðåðûâíûé
îïåðàòîð;
     ã) äëÿ âñåõ n ∈ N , õîòÿ áû íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, ñóùåñòâóþò
îïåðàòîðû G−1n ≡ (Pn G)
                         −1
                            : Yn −→ Xn , îãðàíè÷åííûå ïî íîðìå â ñîâî-
êóïíîñòè.
     Òîãäà äëÿ âñåõ n > n0 ∈ N óðàâíåíèÿ (6.2) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû
ïðè ëþáûõ ïðàâûõ ÷àñòÿõ è ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ x∗n = Kn−1 Pn y ñõî-
äÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ x∗ = K −1 y â ïðîñòðàíñòâå X ñî ñêîðîñòüþ
                                       ©         ª
                       kx∗ − x∗n kX = O En (x∗ )X .                 (6.5)

     Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó óñëîâèé à) è ã) óðàâíåíèÿ (6.1) è (6.2)
ýêâèâàëåíòíû óðàâíåíèÿì ñîîòâåòñòâåííî

               Ax ≡ x + G−1 T x = G−1 y (x, G−1 y ∈ X),             (6.6)

Страницы