Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α) n ∈ N
q
n
≡ ε
n
kA
−1
k
X→X
6 eε
0
n
kK
−1
Gk
X→X
< 1,
A
n
: X
n
−→ X
n
kA
−1
n
k
X
n
→X
n
6 kK
−1
Gk
X→X
(1 − q
n
)
−1
. (6.12)
K
n
= G
n
A
n
: X
n
−→ Y
n
n ∈ N
kK
−1
n
k
Y
n
→X
n
= kA
−1
n
G
−1
n
k
Y
n
→X
n
6 kA
−1
n
k
X
n
→X
n
kG
−1
n
k
Y
n
→X
n
= O(1);
(6.13)
β)
x
∗
n
= A
−1
n
G
−1
n
P
n
y = K
−1
n
P
n
y ∈ X
n
y ∈ Y x
∗
= A
−1
G
−1
y =
K
−1
y ∈ X X
kx
∗
− x
∗
n
k
X
= O
¡
ε
n
+ δ
n
¢
. (6.14)
kx
∗
− x
∗
n
k
X
= k(E − K
−1
n
P
n
K)( x
∗
− x
n
)k
X
6
6
¡
1 + kK
−1
n
P
n
Kk
X→X
¢
E
n
(x
∗
)
X
= O(1) E
n
(x
∗
)
X
=
= O
©
E
n
(x
∗
)
X
ª
→ 0, n → ∞,
x
n
∈ X
n
x
∗
=
K
−1
y ∈ X X.
X = Y, X
n
= Y
n
, G = E
Kx ≡ x + Hx = y, K
n
x
n
≡ x
n
+ H
n
x
n
= y
n
,
H H
n
X = Y X
n
= Y
n
⊂ X
     α) äëÿ âñåõ n ∈ N òàêèõ, ÷òî

               qn ≡ εn kA−1 kX→X 6 εe 0n kK −1 GkX→X < 1,

îïåðàòîðû An : Xn −→ Xn ëèíåéíî îáðàòèìû è

                kA−1            −1              −1
                  n kXn →Xn 6 kK GkX→X (1 − qn ) .               (6.12)

Îòñþäà è èç óðàâíåíèÿ (6.7) ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ã) ïîëó÷àåì, ÷òî îïåðàòîðû
Kn = Gn An : Xn −→ Yn òàêæå ëèíåéíî îáðàòèìû õîòÿ áû ïðè äîñòàòî÷-
íî áîëüøèõ n ∈ N è

   kKn−1 kYn →Xn = kA−1 −1            −1          −1
                     n Gn kYn →Xn 6 kAn kXn →Xn kGn kYn →Xn = O(1);
                                                                (6.13)
     β) ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ

                   x∗n = A−1 −1        −1
                          n Gn Pn y = Kn Pn y ∈ Xn

ïðè ëþáûõ y ∈ Y ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ x∗ = A−1 G−1 y =
K −1 y ∈ X â ïðîñòðàíñòâå X ñî ñêîðîñòüþ
                                       ¡       ¢
                       kx∗ − x∗n kX = O εn + δn .                (6.14)

     Òåïåðü, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 3.2 ê óðàâíåíèÿì (6.1) è (6.2), ñ ó÷åòîì
óñëîâèé à), á) è (6.13), (6.14) íàõîäèì

            kx∗ − x∗n kX = k(E − Kn−1 Pn K)(x∗ − xn )kX 6
           ¡                    ¢
          6 1 + kKn−1 Pn KkX→X En (x∗ )X = O(1) En (x∗ )X =
                         ©        ª
                    = O En (x∗ )X → 0, n → ∞,
ãäå xn ∈ Xn åñòü ýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ x∗ =
K −1 y ∈ X óðàâíåíèÿ (6.1) â ïðîñòðàíñòâå X.
      Òåîðåìà 6.2 äîêàçàíà.

     6.2. ßñíî, ÷òî ïðè X = Y, Xn = Yn , G = E èç òåîðåì 6.1 è 6.2
ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâóþùèé ðåçóëüòàò äëÿ ïðîåêöèîííîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé II-ãî ðîäà. Êðîìå òîãî, äëÿ óðàâíåíèé II-ãî ðîäà âèäà

             Kx ≡ x + Hx = y,     Kn xn ≡ xn + Hn xn = yn ,

ãäå H è Hn  ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû â ïîëíûõ ïðîñòðàíñòâàõ
X = Y è Xn = Yn ⊂ X ñîîòâåòñòâåííî, â ïðèëîæåíèÿõ âåñüìà ïîëåçíûì
îêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ïðîñòîå óòâåðæäåíèå:

Страницы