Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K : X −→ Y
(6.15)
X
α) n ∈ N (6.17)
α
∗
1
, α
∗
2
, . . . α
∗
n
∈ C
β)
x
∗
n
=
n
X
k=1
α
∗
k
ϕ
k
, n ∈ N, (6.16
∗
)
x
∗
= K
−1
y ∈ X X
E
n
(x
∗
)
X
6 kx
∗
− x
∗
n
k
X
6 η(K) E
n
(x
∗
)
X
, n ∈ N, (6.18)
η(K) K : X −→ Y ,
E
n
(x
∗
)
X
x
∗
∈ X
(6.16) X.
(6.15)
{Kϕ
k
}
∞
1
⊂ Y
n ∈ N
6.16
∗
ky − Kx
∗
n
k
Y
6 ky − Kx
n
k
Y
, x
n
∈ X
n
, n ∈ N, (6.19)
y ≡ Kx
∗
n ∈ N
kx
∗
− x
∗
n
k
X
kK
−1
k
Y →X
6 kK(x
∗
− x
∗
n
)k
Y
6 kK(x
∗
− x
n
)k
Y
6
6 kKk
X→Y
kx
∗
− x
n
k
X
, (6.20)
kx
∗
− x
∗
n
k
X
6 kKk
X→Y
kK
−1
k
Y →X
kx
∗
−
n
X
k=1
α
k
ϕ
k
k
X
, (6.21)
     Òåîðåìà 6.3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
          à) îïåðàòîð K : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèì;
          á) ñèñòåìà ýëåìåíòîâ (6.15) ëèíåéíî íåçàâèñèìà è ïîëíà â
ïðîñòðàíñòâå X .
          Òîãäà ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:
          α) ïðè âñåõ n ∈ N ÑËÀÓ (6.17) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
α1∗ , α2∗ , . . . αn∗ ∈ C ;
          β) ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ
                                     n
                                     X
                           x∗n   =         αk∗ ϕk ,   n ∈ N,                  (6.16∗ )
                                     k=1

ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ x∗ = K −1 y ∈ X â ïðîñòðàíñòâå X ñî
ñêîðîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè

             En (x∗ )X 6 kx∗ − x∗n kX 6 η(K) En (x∗ )X ,            n ∈ N,     (6.18)

ãäå η(K)  ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè îïåðàòîðà K : X −→ Y , à
En (x∗ )X  íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå x∗ ∈ X âñåâîçìîæíûìè ýëåìåí-
òàìè âèäà (6.16) â ïðîñòðàíñòâå X.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ñèñòåìà ôóíêöèé (6.15) ëèíåéíî
íåçàâèñèìà, òî â ñèëó óñëîâèÿ à) ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ôóíê-
öèé {Kϕk }∞1 ⊂ Y òàêæå áóäåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé. Òîãäà îïðåäåëèòåëü
Ãðàììà ýòîé ñèñòåìû, ñîâïàäàþùèé ñ îïðåäåëèòåëåì ÑËÀÓ (6.17), áóäåò
îòëè÷åí îò íóëÿ ïðè ëþáûõ n ∈ N . Ïîýòîìó ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû
äîêàçàíî.
     Îöåíèì ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ( 6.16∗ ). Äëÿ ëþáîãî
ýëåìåíòà âèäà (6.16) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

              ky − Kx∗n kY 6 ky − Kxn kY ,             xn ∈ Xn , n ∈ N,        (6.19)

ãäå y ≡ Kx∗ . Îòñþäà â ñèëó óñëîâèÿ a) íàõîäèì äëÿ ëþáûõ n ∈ N
íåðàâåíñòâà
             kx∗ − x∗n kX
                −1
                          6 kK(x∗ − x∗n )kY 6 kK(x∗ − xn )kY 6
             kK kY →X
                           6 kKkX→Y kx∗ − xn kX ,                              (6.20)
                                                           n
                                                           X
         ∗
       kx −   x∗n kX                       −1
                       6 kKkX→Y kK kY →X kx −          ∗
                                                                 αk ϕk kX ,    (6.21)
                                                           k=1

Страницы