Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
e
X
N(K) N(
e
K) K
e
K
K
e
K
K
e
K X = X/N(K)
e
X =
e
X/N(
e
K)
§§ 1 4.
X Y X
n
Y
n
K : X −→ Y
K
n
: X
n
−→ Y
n
P
n
Y Y
n
n ∈ N
§
2.1, 2.2 3.1
7.1.
p
n
= kK
−1
k{ε
(n)
1
+ ε
(n)
2
kE − P
n
k} < 1, E − P
n
: Y
0
−→ Y, n ∈ N,
Y
0
Y,
y
0
= Kx
n
− y
n
(x
n
∈ X
n
, y
n
∈ Y
n
);
dim X
n
= dim Y
n
< ∞;
(4.1) y ∈ Y
(4.2)
y
n
∈ Y
n
x
∗
x
∗
n
(4.1) (4.2)
ky − Kx
∗
n
k 6
ky − y
n
k + p
n
kyk
1 − p
n
= O(δ
(n)
+ ε
(
n
)
1
+ ε
(
n
)
2
kE − P
n
k), (7.1)
δ
(n)
= ky − y
n
k E − P
n
: Y
0
→ Y
x
∗
x
∗
n
(4.1) (4.2)
kx
∗
− x
∗
n
k 6 2kK
−1
k ky − Kx
∗
n
k = O{δ
(n)
+ ε
(n)
1
+ ε
(n)
2
kE − P
n
k}. (7.2)
X è X  e ê ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâàì ýòèõ ïðîñòðàíñòâ ïî ïîäïðîñòðàíñòâàì
íóëåé N (K) è N (K)  e òî÷íîãî è ïðèáëèæåííîãî îïåðàòîðîâ K è K   e ñîîò-
âåòñòâåííî è ïîëüçóÿñü ïðè ýòîì îïåðàòîðàìè K è K   e , èíäóöèðîâàííûìè
îñíîâíûìè îïåðàòîðàìè K è K      e â ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâàõ X = X/N (K) ,
Xe = X/N
       e (K) e ñîîòâåòñòâåííî.
       Îñòàíîâèìñÿ íà ýòîì âîïðîñå õîòÿ áû âêðàòöå, ïðèäåðæèâàÿñü â
îñíîâíîì ðåçóëüòàòîâ è îáîçíà÷åíèé §§ 1 è 4.
       Èòàê, ïóñòü X è Y  äàííûå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, à Xn è Yn
 èõ ïðîèçâîëüíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâåííî. Ðàññìîòðèì óðàâíå-
íèÿ (4.1) è (4.2), ãäå âñþäó â ýòîì ïóíêòå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî K : X −→ Y
è Kn : Xn −→ Yn  ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû. Ïóñòü ñóùåñòâóåò
ëèíåéíûé îïåðàòîð Pn , îòîáðàæàþùèé Y íà Yn . Ââåäåííûå ïðîñòðàíñòâà
è îïåðàòîðû ïðè êàæäîì íàòóðàëüíîì n ∈ N ñâÿæåì óñëîâèÿìè I, II è
III (à, á) èç § 1.
       Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî â íà÷àëå ýòîãî ïóíêòà, ñ ïîìîùüþ òåîðåì
2.1, 2.2 è 3.1 äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ

      Òåîðåìà 7.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
      à) I è II ñ
             −1      (n)     (n)
   pn = kK        k{ε1 + ε2 kE − Pn k} < 1,      E − Pn : Y 0 −→ Y, n ∈ N,
ãäå Y 0  ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç Y, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå

                       y 0 = Kxn − yn (xn ∈ Xn , yn ∈ Yn );
      á) dim Xn = dim Yn < ∞;
      â) óðàâíåíèå (4.1) ðàçðåøèìî ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè y ∈ Y .
      Òîãäà óðàâíåíèå (4.2) òàêæå ðàçðåøèìî ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè
yn ∈ Yn , ïðè ýòîì ëþáûå ðåøåíèÿ x∗ è x∗n óðàâíåíèé (4.1) è (4.2) áëèçêè
â òîì ñìûñëå, ÷òî äëÿ íåâÿçêè ñïðàâåäëèâû îöåíêè
                    ky − yn k + pn kyk              (n)  (n)
   ky − Kx∗n k 6                       = O(δ (n) + ε1 + ε2 kE − Pn k),    (7.1)
                         1 − pn
ãäå δ (n) = ky − yn k , E − Pn : Y 0 → Y .

      Ñëåäñòâèå. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû ñóùåñòâóþò òàêèå ðåøåíèÿ x∗
è x∗n óðàâíåíèé (4.1) è (4.2) , ÷òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà
                       −1                            (n)   (n)
  kx∗ − x∗n k 6 2kK         k ky − Kx∗n k = O{δ (n) + ε1 + ε2 kE − Pn k}. (7.2)

Страницы