Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7.1 x
∗
x
∗
n
(4.1) (4.2)
ky − Kx
∗
n
k 6 ky − P
n
yk + 2(1 + ε
(n)
3
)p
n
kP
n
yk(1 − q
n
)
−1
. (7.6)
P
n
n ∈ N 7.1
x
∗
x
∗
n
(4.1) (4.2)
kx
∗
− x
∗
n
k 6 2{(1 + N
n
kKk kP
n
k)kx
∗
− x
n
k + N
n
ε
(n)
1
kx
n
k}(1 − q
n
)
−1
=
= O{kP
n
k kx
∗
− x
n
k + ε
(n)
1
}, (7.7)
x
n
X
n
kx
∗
− x
∗
n
k
X
= O{ε
(n)
1
+ kP
n
k
Y →Y
E
n
(x
∗
)
X
}, n → ∞. (7.7
0
)
K : X → Y
x
0
∈ X Kx
0
= y
n
(y
n
∈ Y
n
)
kx
0
k 6 2kK
−1
k ky
n
k
x
0
n
∈ X
n
kx
0
n
k 6 (1 + ε
(n)
3
)kx
0
k 6 2(1 + ε
(n)
3
)kK
−1
k ky
n
k ≡ N
n
ky
n
k. (7.8)
y
n
∈ Y
n
x
0
n
∈ X
n
kK
n
x
0
n
− y
n
k 6 ε
(n)
1
kx
0
n
k + ε
(n)0
3
kx
0
n
k 6
6 2kK
−1
k{ε
(n)
1
(1 + ε
(n)
3
) + ε
(n)0
3
}ky
n
k ≡ q
n
ky
n
k.
(7.9)
x
∗
n
∈ X
n
K
n
x
∗
n
≡ y
n
kx
∗
n
k 6 N
n
(1 − q
n
)
−1
ky
n
k, y
n
∈ Y
n
. (7.10)
K
n
: X
n
−→ Y
n
kK
−1
n
k 6 N
n
(1 − q
n
)
−1
. (7.11)
     Ñëåäñòâèå 1. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ I è II, òî â óñëîâèÿõ òåî-
ðåìû 7.1 ðåøåíèÿ x∗ è x∗n óðàâíåíèé (4.1) è (4.2) áëèçêè â òîì ñìûñëå,
÷òî
                                                       (n)
      ky − Kx∗n k 6 ky − Pn yk + 2(1 + ε3 )pn kPn yk(1 − q n )−1 .                      (7.6)



     Ñëåäñòâèå 2. Åñëè îïåðàòîð Pn îãðàíè÷åí (ïðè êàæäîì ôèêñèðî-
âàííîì n ∈ N ), òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû 7.1 ñóùåñòâóþò òàêèå ðåøåíèÿ
x∗ è x∗n óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâåííî (4.1) è (4.2) , ÷òî ñïðàâåäëèâà îöåí-
êà
                                                                         (n)
 kx∗ − x∗n k 6 2{(1 + N n kKk kPn k)kx∗ − xn k + N n ε1 kxn k}(1 − q n )−1 =
                                                                  (n)
                           = O{kPn k kx∗ − xn k + ε1 },                                 (7.7)
ãäå xn  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç Xn ; ïîýòîìó
                                  (n)
           kx∗ − x∗n kX = O{ε1 + kPn kY →Y En (x∗ )X }, n → ∞.                         (7.70 )


     Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó óñëîâèÿ â) îïåðàòîð K : X → Y ëèíåéíî
îáðàòèì; òîãäà ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x0 ∈ X òàêîé, ÷òî Kx0 = yn (yn ∈ Yn )
               −1
è kx0 k 6 2kK k kyn k . Äàëåå, â ñèëó óñëîâèÿ IIIà ñóùåñòâóåò ýëåìåíò
x0n ∈ Xn òàêîé, ÷òî
                    (n)                          (n)         −1
      kx0n k 6 (1 + ε3 )kx0 k 6 2(1 + ε3 )kK k kyn k ≡ N n kyn k.                       (7.8)

Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî yn ∈ Yn ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x0n ∈ Xn òàêîé, ÷òî
                                           (n)                (n)0
                  kKn x0n − yn k 6 ε1 kx0n k + ε3 kx0n k 6
                      −1      (n)          (n)          (n)0
                                                                                        (7.9)
              6 2kK        k{ε1 (1    +   ε3 )   +     ε3 }kyn k        ≡ q n kyn k.
     Òåïåðü â ñèëó (7.8) è (7.9) èç ëåììû Êàíòîðîâè÷à [47, c. 489] (ñì.
òàêæå ëåììó 2.7) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî x∗n ∈ Xn , ÷òî Kn x∗n ≡ yn è

                   kx∗n k 6 N n (1 − q n )−1 kyn k,               y n ∈ Yn .           (7.10)

Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû î ãîìîìîðôèçìàõ îïåðàòîð K n : X n −→ Yn
ëèíåéíî îáðàòèì è
                                 −1
                             kK n k 6 N n (1 − q n )−1 .                               (7.11)

Страницы