Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

kA
n
x
n
− y
n
k
2
kx
n
k
2
=
n
P
k=1
|a
k
|
2
= R
2
(n+1) a
0
1
, . . . , a
0
n
µ (n+1)
µa
m
+
n
X
k=1
a
k
(A
n
e
k
, A
n
e
m
) = (y
n
, A
n
e
m
),
n
X
k=1
|a
k
|
2
= R
2
, m = 1, n.
(8.10
0
)
(8.10
◦
), (8.10
0
)
M
n
λx
n
+ A
∗
n
A
n
x
n
= A
∗
n
y
n
, (8.10)
A
∗
n
= (A
n
)
∗
A
n
n → ∞
kA − A
n
k
X
n
→Y
→ 0, ky − y
n
k
Y
→ 0,
n ∈ N M
n
x
0
n
=
n
P
k=1
a
0
k
e
k
(8.1).
x
0
n
→ x
0
, n → ∞, (8.11)
x
0
(8.1) M
kKx
0
− Kx
0
n
k
Y
= O(kA − A
n
k
X
n
→Y
+ ky − y
n
k
Y
). (8.12)
2
Φ
n
P
n
X
n
Y
n
A
n
= P
n
A X
n
x
0
n
M
n
λx
n
+ Φ
n
A
∗
P
n
Ax
n
= Φ
n
A
∗
P
n
y. (8.13)
     Åñëè æå óñëîâèå (8.9) íå âûïîëíåíî, òî èùåì ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà
                                              P
                                              n
kAn xn − yn k2 ïðè óñëîâèè kxn k2 =               |ak |2 = R2 .  ýòîì ñëó÷àå äëÿ
                                            k=1
îïðåäåëåíèÿ (n + 1) -íåèçâåñòíûõ     a1 , . . . , a0n
                                      0
                                                        è µ èìååì ñèñòåìó èç (n + 1) -
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
                        n
                        X
                µam +         ak (An ek , An em ) = (yn , An em ),
                        k=1
                         n                                                     (8.100 )
                        X
                              |ak |2 = R2 ,       m = 1, n.
                        k=1

    Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà (8.10◦ ), (8.100 ) ýêâèâàëåíòíà çàäàííîìó íà
Mn îïåðàòîðíîìó óðàâíåíèþ

                         λxn + A∗n An xn = A∗n yn ,                             (8.10)

ãäå A∗n = (An )∗  ñîïðÿæåííûé ê An îïåðàòîð.
     Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ

     Òåîðåìà 8.1. Åñëè ïðè n → ∞
                 kA − An kXn →Y → 0,            ky − yn kY → 0,

òî õîòÿ áû äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ∈ N íà Mn ñóùåñòâóåò
                                             P
                                             n
åäèíñòâåííîå ïðèáëèæåííîå êâàçèðåøåíèå x0n =   a0k ek çàäà÷è (8.1).
                                                               k=1
Èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå

                        x0n → x0 (ñëàáî), n → ∞,                                (8.11)

ãäå x0  òî÷íîå êâàçèðåøåíèå çàäà÷è (8.1) íà M , ïðè÷åì ïîãðåøíîñòü
ìîæåò áûòü îöåíåíà ñîîòíîøåíèåì

           kKx0 − Kx0n kY = O(kA − An kXn →Y + ky − yn kY ).                    (8.12)

     Ñ ï î ñ î á à2 (ïðîåêöèîííûé ìåòîä). Åñëè çàäà÷à (8.1) ðåøàåòñÿ
ïðîåêöèîííûì ìåòîäîì, òî ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå.
     Îáîçíà÷èì ÷åðåç Φn è Pn îïåðàòîðû îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâà-
íèÿ íà Xn è Yn ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü An = Pn A íà Xn . Òîãäà ïðèáëè-
æåííîå êâàçèðåøåíèå x0n çàäà÷è (8.1) íà Mn îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ

                    λxn + Φn A∗ Pn Axn = Φn A∗ Pn y.                            (8.13)

Страницы