Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

e
A X Y,
e
A
−1
: Y −→ X;
e
A = B,
X = Y.
B = ϕ(τ, A) =
e
A
−1
, x
0
= ex
∗
= τ
e
A
−1
y x
0
n
= τ
e
A
−1
y
n
.
(B = B
j
)
x
j+1
= x
j
+ τ
e
A
−1
(y − Ax
j
), x
0
= ex
∗
= τ
e
A
−1
y, j = 0, 1, . . . ; (9.2
0
)
x
j+1
n
= x
j
n
+τ
e
A
−1
(y
n
−A
n
x
j
n
), x
0
n
= τ
e
A
−1
y
n
, j = 0, 1, . . . , n = 1, 2, . . . ;
(9.4
0
)
x
j+1
= x
j
+ τ
e
A
−1
(y
j
− A
j
x
j
), x
0
= τ
e
A
−1
y, j = 0, 1, . . . . (9.5
0
)
e
A τA
e
A A.
e
A
−1
A
−1
τ
e
A
−1
A
E T = T (τ) =
= E − τ
e
A
−1
A
e
A τ
e
A
−1
A,
e
A, A
n
τ
e
A
q = kE − τ
e
A
−1
Ak < 1, q
n
= kE − τ
e
A
−1
A
n
k 6 q
0
< 1. (9.23)
(9.1) (9.3)
y ∈ Y y
n
∈ Y, (9.2
0
)
(9.4
0
) j → ∞ x
∗
x
∗
n
kx
∗
− x
j
k 6 q
j+1
(1 − q)
−1
kx
0
k; j = 1, 2, . . . , (9.24)
kx
∗
n
− x
j
n
k 6 q
j+1
0
(1 − q
0
)
−1
kx
0
n
k; n, j = 1, 2, . . . , (9.25)
kx
0
n
k 6 kx
0
k + τk
e
A
−1
k ky − y
n
k; n = 1, 2, . . . .
    e  ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð èç X â Y, òàêîé, ÷òî ñóùå-
ãäå A
       e−1 : Y −→ X; â ÷àñòíîñòè, âîçìîæåí ñëó÷àé, êîãäà A
ñòâóåò A                                                 e = B,
X = Y.
    Ïîëîæèì
                         e−1 ,
           B = ϕ(τ, A) = A           x0 = x      e−1 y è x0n = τ A
                                          e∗ = τ A               e−1 yn .

Òîãäà èòåðàöèîííûå ïðîöåññû (9.2), (9.4), (9.5) (B = Bj ) ïðèíèìàþò
ñîîòâåòñòâåííî âèä

                    e−1 (y − Axj ),
      xj+1 = xj + τ A                    x0 = x      e−1 y,
                                              e∗ = τ A            j = 0, 1, . . . ;    (9.20 )

xj+1
 n
              e−1 (yn −An xj ),
     = xjn +τ A                               e−1 yn ,
                                      x0n = τ A           j = 0, 1, . . . ,  n = 1, 2, . . . ;
                           n
                                                                                     (9.40 )
                     e−1 (yj − Aj xj ),
       xj+1 = xj + τ A                              e−1 y,
                                             x0 = τ A           j = 0, 1, . . . .    (9.50 )
      Åñëè îïåðàòîðû Ae è τ A äîñòàòî÷íî áëèçêè, òî èç îáðàòèìîñòè îïå-
ðàòîðà Ae ñëåäóåò îáðàòèìîñòü îïåðàòîðà A. Òîãäà îáðàòíûå îïåðàòîðû
Ae−1 è A−1 òàêæå áëèçêè, ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð τ A e−1 A áëèçîê ê åäè-
íè÷íîìó îïåðàòîðó E .  òàêîì ñëó÷àå îïåðàòîð ïåðåõîäà T = T (τ ) =
= E − τAe−1 A áóäåò èìåòü ìàëóþ íîðìó. Àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ñïðà-
âåäëèâî òàêæå äëÿ îïåðàòîðîâ A e è τAe−1 . Îòñþäà è èç ðåçóëüòàòîâ ï. 9.2
ñëåäóåò

                                                             e An
        Òåîðåìà 9.4. Ïóñòü ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû A, A,
                         e ëèíåéíî îáðàòèì è
è ïàðàìåòð τ òàêîâû, ÷òî A

                    e−1 Ak < 1,
         q = kE − τ A                              e−1 An k 6 q0 < 1.
                                       qn = kE − τ A                                  (9.23)

Òîãäà óðàâíåíèÿ (9.1) è (9.3) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû ïðè ëþáûõ ïðàâûõ
÷àñòÿõ y ∈ Y è yn ∈ Y, èòåðàöèîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (9.20 ) è
(9.40 ) ïðè j → ∞ ñõîäÿòñÿ ê èõ åäèíñòâåííûì ðåøåíèÿì x∗ è x∗n ñî
ñêîðîñòÿìè ñîîòâåòñòâåííî

                 kx∗ − xj k 6 q j+1 (1 − q)−1 kx0 k;      j = 1, 2, . . . ,           (9.24)

               kx∗n − xjn k 6 q0j+1 (1 − q0 )−1 kx0n k;   n, j = 1, 2, . . . ,        (9.25)
ãäå
                                    e−1 k ky − yn k;
                kx0n k 6 kx0 k + τ kA                      n = 1, 2, . . . .

Страницы