Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ky − y
n
k + kAx
∗
n
− A
n
x
∗
n
k = q
j+1
0
ky
n
k.
kx
∗
− x
j
0
n
k 6 2k
e
A
−1
k ky
n
k(1 − q
0
)
−1
q
j
0
+1
0
,
kx
∗
− x
j
0
0
n
k 6 2k
e
A
−1
k ky
n
k(1 − q
0
)
−1
q
j
0
0
+1
0
.
(9.30)
e
A
A x
0
= τ
e
A
−1
y x
0
n
= τ
e
A
−1
y
n
(9.1).
(9.2
0
) (9.4
0
) (9.5
0
)
(9.1)
(9.5) (9.5
0
)
X = Y, A = E − λH, τ = 1, B =
e
A
−1
, x
0
=
e
A
−1
y, n = j, (9.31)
H
X = Y = M[a, b] H
(9.2
0
), (9.31)
§
                   ky − yn k + kAx∗n − An x∗n k = q0j+1 kyn k.
Òîãäà, êàê è â ï. 9.2, ïðèõîäèì ê (9.18) ñî ñêîðîñòÿìè, îïðåäåëÿåìûìè
íåðàâåíñòâàìè

                         j        e−1 k kyn k(1 − q0 )−1 q j0 +1 ,
                  kx∗ − xn0 k 6 2kA                       0
                           j0                               j 0 +1
                                                                            (9.30)
                                  e−1 k kyn k(1 − q 0 )−1 q 0 .
                  kx∗ − xn0 k 6 2kA                        0

        Ñëåäñòâèå 2 äîêàçàíî. Ñëåäñòâèå 3 â ñèëó (9.26) è (9.27) ñòàíîâèòñÿ
î÷åâèäíûì.
        Ïîÿñíèì âêðàòöå ñìûñë òåîðåìû 9.4. ßñíî, ÷òî åñëè îïåðàòîðû A       eè
A áëèçêè, òî ýëåìåíò x0 = τ A      e−1 y èëè x0n = τ A
                                                     e−1 yn ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê íåêîòîðîå (âîîáùå ãîâîðÿ, ãðóáîå) ïðèáëèæåíèå ê ðåøåíèþ óðàâíå-
íèÿ (9.1). Òîãäà â ñèëó òåîðåìû 9.4 è åå ñëåäñòâèé èòåðàöèîííûå ïðîöåññû
(9.20 ) , (9.40 ) è (9.50 ) ïîçâîëÿþò óòî÷íÿòü ýòî ãðóáîå ïðèáëèæåíèå äî ëþ-
áîé ñòåïåíè òî÷íîñòè. Òàêîé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.1) åñòåñòâåííî
íàçâàòü"ìåòîäîì óòî÷íÿþùèõ èòåðàöèé". Ýòî íàçâàíèå îïðàâäûâàåòñÿ
åùå è òåì, ÷òî èç îïèñàííîé ñõåìû (9.5) , (9.50 ) â ÷àñòíîì ñëó÷àå

 X = Y,    A = E − λH,          τ = 1,     e−1 ,
                                         B=A               e−1 y,
                                                      x0 = A         n = j, (9.31)

ãäå H  ëèíåéíûé âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, ïîëó÷àåì ñõåìó "óòî÷-
íÿþùèõ" èòåðàöèé À.Á. Áàêóøèíñêîãî äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ óðàâíå-
íèé Ôðåäãîëüìà II-ãî ðîäà; âïîñëåäñòâèè Ê.Â. Åìåëüÿíîâ è À.Ì. Èëüèí
äîêàçàëè, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé èì ìåòîä ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî çàâè-
ñèìîñòè ïîãðåøíîñòè îò ÷èñëà ïðîèçâåäåííûõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé.
 ýòîì æå ñìûñëå îïòèìàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïîëîñ Ã.Í. Ïîëîæåãî è
Ï.È. ×àëåíêî. Êðîìå òîãî, êîãäà X = Y = M [a, b] , à H  ëèíåéíûé èí-
òåãðàëüíûé îïåðàòîð, èç ñõåìû (9.20 ), (9.31) ìîæíî ïîëó÷èòü òàêæå èí-
òåðåñíûå áûñòðîñõîäÿùèåñÿ àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèÿ II-ãî ðîäà, ïðåäëîæåííûå Á.À. Áåëüòþêîâûì. Êðàòêèé îáçîð
ðåçóëüòàòîâ òîëüêî ÷òî óêàçàííûõ àâòîðîâ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ññûëêàìè
èìååòñÿ â ðàáîòå [19], à òàêæå â § 7 ãë. II êíèãè [10].
       ñèëó ñêàçàííîãî, à òàêæå ñ ó÷åòîì ïîñëåäóþùèõ ïðèëîæåíèé (â
ïåðâóþ î÷åðåäü ê ñèíãóëÿðíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì) ïðåäñòàâëÿåò
èíòåðåñ äåòàëüíîå èññëåäîâàíèå ìåòîäà óòî÷íÿþùèõ èòåðàöèé.  ýòîì
ñìûñëå âåñüìà óäîáíûìè ÿâëÿþòñÿ òåîðåìà 9.4 è åå ñëåäñòâèÿ. Êðîìå
òîãî, íèæå ïðèâîäÿòñÿ åùå ðÿä òåîðåì â ýòîì íàïðàâëåíèè.

Страницы